حل مسألة النرد الثلاثي: الاحتمالات والتكرار (مسألة رياضيات)

ما هو أقل عدد مرات يجب أن تقوم بها برمي ثلاثة نرد مكعبة متساوية الأوجه لضمان أن تتكرر نفس المجموعة مرتين؟

المسألة الرياضية المطروحة تُعتبر من مجال نظرية الاحتمالات، وهدفها تحديد أقل عدد من المحاولات للحصول على نفس النتيجة مرتين. لنقم بتحليل المشكلة:

أولاً، يجب علينا أن نحدد جميع النتائج الممكنة لرمي ثلاثة نرد مكعبة. لكل نرد، هناك 6 نتائج محتملة (الأعداد من 1 إلى 6). لذلك، إجمالاً، هناك $6 \times 6 \times 6 = 216$ نتيجة ممكنة.

ثانياً، نريد أن نحدد أقصى عدد ممكن من المحاولات بحيث لا يتكرر نفس المجموع. لتحقيق ذلك، دعونا نفكر في أقصى حالات تكرار للمجموعات.

أعلى مجموع يمكن الحصول عليه من ثلاثة نرد مكعبة هو $6 + 6 + 6 = 18$، وأدنى مجموع هو $1 + 1 + 1 = 3$. لذا، هناك مجموعات ممكنة تتراوح من 3 إلى 18.

الآن، دعونا نفكر في الحد الأدنى لعدد المحاولات اللازمة لضمان تكرار مجموع معين. إذا كنا نرغب في ضمان تكرار مجموع مثل 3، فإننا بحاجة إلى أقل 2 محاولة (الحد الأدنى)، لأن الناتج لا يمكن أن يكون أقل من 3.

لتكرار مجموع 4، فإننا بحاجة إلى 3 محاولات على الأقل (على سبيل المثال: 1+1+2، ثم 1+2+1، ثم 2+1+1).

وهكذا، نحتاج إلى دراسة جميع المجموعات الممكنة وتحديد الحد الأدنى لعدد المحاولات لضمان تكرار أي منها. بعد التحليل، ستظهر أن الإجابة هي 11 محاولة. يمكن تطوير خوارزمية لحساب العدد الأدنى للمحاولات بناءً على هذا التحليل.

بالتالي، للضمان الحصول على نفس المجموع مرتين على الأقل، يتعين علينا أن نقوم برمي النرد 11 مرة على الأقل.

لحل مسألة تكرار نفس المجموع عند رمي ثلاثة نرد مكعبة، نحتاج إلى فهم عملية حساب الاحتمالات وتطبيق القوانين المناسبة. هنا سأوضح الحل بالتفصيل مع استخدام القوانين الأساسية في نظرية الاحتمالات:

1. تحديد المجال العيني: أول خطوة في حل المسألة هي تحديد جميع النتائج الممكنة لرمي النرد الثلاثة. لكل نرد، هناك 6 نتائج ممكنة، لذلك إجمالاً هناك $6 \times 6 \times 6 = 216$ نتيجة ممكنة.

2. تحديد الحد الأعلى للمجموع: أعلى مجموع يمكن الحصول عليه هو $6 + 6 + 6 = 18$، وأدنى مجموع هو $1 + 1 + 1 = 3$.

3. حساب الاحتمالات: نريد حساب احتمالية حدوث كل مجموع من 3 إلى 18. للقيام بذلك، نستخدم قاعدة الجمع للاحتمالات للحالات المستقلة، حيث تكون النتائج لكل نرد مستقلة عن بعضها البعض.

4. تحديد العدد الأدنى للمحاولات: بعد حساب الاحتمالات لكل مجموع ممكن، نحتاج إلى معرفة العدد الأدنى من المحاولات لضمان تكرار أي من هذه المجموعات.

5. القوانين المستخدمة:

   • قاعدة الجمع للاحتمالات للحالات المستقلة.
   • مبدأ عدم التكرار: يفيد بأنه يجب حساب الاحتمالية للحصول على النتائج المرغوبة دون تكرار.

6. الحسابات الفعلية: يتم حساب الاحتمالات بالترتيب من 3 إلى 18، وبعد ذلك يتم تحديد العدد الأدنى للمحاولات لضمان تكرار مجموع.

بالاستفادة من هذه الخطوات والقوانين، يمكننا حساب الإجابة بدقة وتحديد أقل عدد من المحاولات لضمان تكرار نفس المجموع مرتين على الأقل.