حل مسألة المنتج الصلب والمعادلات الخطية (مسألة رياضيات)

الأعداد الحقيقية $a$ و $b$ تتفق مع المعادلة
$\begin{pmatrix} X \\ a \\ -7 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ b \end{pmatrix} = \mathbf{0}.$أدخل الزوج المرتب $(a,b).$
إذا كنا نعلم أن إجابة السؤال السابق هي (\frac{8}{5},-\frac{35}{2}), ما هو قيمة المتغير المجهول X؟

نتطلع إلى الجزء الرياضي من السؤال. لحل هذه المسألة، نستخدم منتج الصلب للمتجهين:
$\mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} X \\ a \\ -7 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ b \end{pmatrix}.$

المنتج الصلب يحسب كالتالي:
$\mathbf{v_1} \times \mathbf{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ X & a & -7 \\ 5 & 4 & b \end{vmatrix}.$

نوسع هذا الناتج باستخدام التفسير القياسي لمنتج الصلب. يكون ذلك على النحو التالي:

$\mathbf{v_1} \times \mathbf{v_2} = \mathbf{i}(ab + 28) – \mathbf{j}(bX + 5a) + \mathbf{k}(4X – 5a).$

وبما أن المنتج الصلب يساوي الصفر، فإننا نحصل على نظام من المعادلات:
$\begin{cases} ab + 28 = 0 \\ bX + 5a = 0 \\ 4X – 5a = 0 \end{cases}.$

الآن، لنحسب قيم $(a, b)$ باستخدام الإجابة المعطاة (\frac{8}{5},-\frac{35}{2}):
$\begin{cases} a\left(-\frac{35}{2}\right) + 28 = 0 \\ bX + 5\left(\frac{8}{5}\right) = 0 \\ 4X – 5\left(\frac{8}{5}\right) = 0 \end{cases}.$

حل هذا النظام يؤدي إلى القيم $(a, b) = \left(\frac{8}{5}, -\frac{35}{2}\right)$.

الآن نعرف $(a, b)$، ونستطيع استخدامها لحساب قيمة $X$:
$4X – 5\left(\frac{8}{5}\right) = 0 \implies 4X – 8 = 0 \implies X = 2.$

إذا كانت الإجابة المعطاة (\frac{8}{5},-\frac{35}{2})، فإن قيمة المتغير المجهول $X$ هي 2.

لنقم بحساب المنتج الصلب للمتجهين $\mathbf{v_1}$ و $\mathbf{v_2}$ وإيجاد القيم التي تجعل المنتج الصلب يساوي الصفر، نحتاج إلى استخدام قوانين المتجهات ومنتج الصلب. دعونا نبدأ بتوضيح الخطوات:

لدينا المتجهين:
$\mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} X \\ a \\ -7 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ b \end{pmatrix}.$

نقوم بحساب المنتج الصلب:
$\mathbf{v_1} \times \mathbf{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ X & a & -7 \\ 5 & 4 & b \end{vmatrix}.$

نستخدم التفسير القياسي لمنتج الصلب للحصول على الصيغة التي ذكرتها في الإجابة السابقة:
$\mathbf{v_1} \times \mathbf{v_2} = \mathbf{i}(ab + 28) – \mathbf{j}(bX + 5a) + \mathbf{k}(4X – 5a).$

ومن ثم نضع المعادلات التي تأتي من تساوي هذا المنتج الصلب الناتج عن الصفر:
$\begin{cases} ab + 28 = 0 \\ bX + 5a = 0 \\ 4X – 5a = 0 \end{cases}.$

نحل هذا النظام للعثور على القيم التي تحقق المنتج الصلب يساوي الصفر. وقد كانت الإجابة (\frac{8}{5},-\frac{35}{2}).

لحساب قيمة المتغير المجهول $X$، نستخدم القيمة المعطاة لـ $a$ و $b$ ونستبدلها في المعادلة:
$4X – 5\left(\frac{8}{5}\right) = 0.$

ومن هنا نحسب قيمة $X$ وجدنا أنها تساوي 2.

القوانين المستخدمة هي:

1. منتج الصلب للمتجهات:
   $\mathbf{v_1} \times \mathbf{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ X & a & -7 \\ 5 & 4 & b \end{vmatrix}.$

2. قوانين المتجهات:

   • تعريف المنتج الصلب.
   • تفسير المنتج الصلب بواسطة المتجهات.

3. المعادلات الخطية:

   • إعداد المعادلات باستخدام المنتج الصلب الناتج عن الصفر.
   • حل النظام الخطي للعثور على قيم $a$ و $b$.

4. تحليل الحل:

   • استخدام القيم المعطاة للتحقق من الإجابة.
   • حساب قيمة المتغير المجهول $X$ باستخدام القيم المعروفة.

هذه الخطوات تعتمد على الرياضيات الأساسية وقوانين المتجهات لحل مسألة من هذا النوع.