حل مسألة: المكعب ذو الأبعاد الهندسية (مسألة رياضيات)

حجم مكعب مستطيلي معين هو 216 سم مكعب ، ومساحته السطحية الإجمالية هي 288 سم مربع، وأبعاده الثلاثة هي في تسلسل هندسي. الهدف هو إيجاد مجموع طول جميع حواف هذا المكعب.

لنفترض أن الأبعاد الثلاثة للمكعب هي $a$ و $ar$ و $ar^2$ حيث $a$ هو العنصر الأول في التسلسل الهندسي و $r$ هو النسبة الهندسية.

يتمثل حجم المكعب في المعادلة التالية:

$V = a \times ar \times ar^2 = a^3r^3$

ويُعطى أيضًا أن $V = 216$، لذا:

$216 = a^3r^3$

من هنا، يمكننا تعويض قيمة $a^3r^3$ بـ 216 في المعادلة الثانية.

المعادلة الثانية تمثل مساحة السطح الإجمالية للمكعب وتحسب كالتالي:

$SA = 2(ab + bc + ac)$

$288 = 2(a \cdot ar + ar \cdot ar^2 + a \cdot ar^2)$
$144 = 2a(r + r^2 + r^3)$
$72 = a(r + r^2 + r^3)$

الآن لدينا نظامًا من معادلتين يمكن حلهما معًا للعثور على قيم $a$ و $r$.

بمجموعة الحلول الممكنة للنظام، يمكننا حساب مجموع أطوال جميع الحواف. لكن من أجل الحصول على الحل النهائي، سنحتاج إلى حساب قيم $a$ و $r$ أولا. بمجرد حساب قيمهما، سنقوم بحساب طول كل حاف وإضافتها معًا للحصول على المجموع النهائي.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم التسلسل الهندسي ومفهوم مساحة السطح وحجم المكعب. سنقوم بتطبيق الخطوات التالية:

1. استخدام معلومات المسألة لإعداد المعادلات اللازمة:

   • حجم المكعب: $V = 216$ سم مكعب
   • مساحة السطح الإجمالية: $SA = 288$ سم مربع
   • الأبعاد الثلاثة للمكعب في تسلسل هندسي: $a$، $ar$، $ar^2$

2. تحديد المعادلات:

   • معادلة لحجم المكعب: $V = a^3r^3 = 216$
   • معادلة لمساحة السطح: $SA = 2(ab + bc + ac) = 288$

3. حل المعادلات:

   • نبدأ بحل المعادلة الأولى للحجم: $a^3r^3 = 216$
   • نحسب القيم الممكنة لـ $a$ و $r$ التي تلبي هذه المعادلة.
   • بعد ذلك، نستخدم قيم $a$ و $r$ المحسوبة لحل المعادلة الثانية لمساحة السطح.

4. حساب مجموع طول الحواف:

   • بمجرد حساب $a$ و $r$، سنحسب طول كل حاف من خلال القوانين الهندسية المعروفة للمستطيلات.
   • ثم نجمع هذه الأطوال معًا للحصول على المجموع النهائي.

القوانين المستخدمة تشمل:

• قانون حجم المكعب: $V = a \times b \times c$
• قانون مساحة السطح للمكعب: $SA = 2(ab + bc + ac)$
• النسبة الهندسية في التسلسل الهندسي: $r = \frac{العنصر\ الثاني}{العنصر\ الأول}$
• قوانين الهندسة لحساب أطوال الأضلاع والمساحات والحجوم في المستطيلات.

باستخدام هذه القوانين والمفاهيم، يمكننا حل المسألة والعثور على مجموع طول جميع الحواف للمكعب المعطى.