حل مسألة: المصفوفات والمعادلات الخطية (مسألة رياضيات)

إذا كانت $\mathbf{A}^{-1} = \begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 0 & X \end{pmatrix}$، فإنّ عكس القيمة التربيعية للمصفوفة $\mathbf{A}^2$ يتمثل في إيجاد المصفوفة المقلوبة لناتج ضرب $\mathbf{A}$ في نفسه.

نفترض أن $\mathbf{A}$ هي مصفوفة $2 \times 2$ مع المعاملات التالية:

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

نعلم أن $\mathbf{A}^{-1} \times \mathbf{A} = \mathbf{I}$، حيث $\mathbf{I}$ هي المصفوفة الهوية.

باستخدام الضرب المصفوفي، نحصل على العلاقة التالية:

$\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 0 & X \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4a + c & -4b + d \\ Xc & Xd \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

من هذا، نحصل على نظام معادلات:

$-4a + c = 1$
$-4b + d = 0$
$Xc = 0$
$Xd = 1$

نركز أولاً على المعادلتين $Xc = 0$ و $Xd = 1$. يجب أن يكون $X \neq 0$ حتى تكون $Xc = 0$، وفي الوقت نفسه، يجب أن يكون $Xd = 1$، لذا $X \times d = 1$، وبالتالي $X = \frac{1}{d}$.

الآن نستخدم هذا العلاقة لحل المعادلتين الأولى:

$-4a + c = 1$
$-4b + d = 0$

لكن قبل ذلك، نعرف أن $X = \frac{1}{d}$، لذا:

$Xc = \frac{c}{d} = 0$

لكي تكون $Xc = 0$، يجب أن تكون $c = 0$.

الآن، بما أن $c = 0$، فإن المعادلتين الأولى تصبح:

$-4a = 1 \Rightarrow a = -\frac{1}{4}$
$d = 0$

إذاً، المعاملات في المصفوفة $\mathbf{A}$ هي كالتالي:

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{4} & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

الآن، باستخدام العلاقة $-4b + d = 0$، يصبح $d = 4b$، لكن نعرف أن $d = 0$، لذا $b = 0$.

إذاً، المصفوفة $\mathbf{A}$ هي:

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

الآن، نأخذ المصفوفة $\mathbf{A}$ ونقوم برفعها إلى القوة الثانية:

$\mathbf{A}^2 = \begin{pmatrix} -\frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -\frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{16} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

الآن، إذا كانت المصفوفة $\mathbf{A}^2$ تساوي $\begin{pmatrix} 16 & -2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$، فإن القيمة المفقودة $X$ هي $4$.

لحل المسألة وإيجاد قيمة المتغير المجهول $X$ ومعرفة المصفوفة $\mathbf{A}$، نحتاج إلى الالتزام ببعض القوانين والمفاهيم في الجبر الخطي وحساب المصفوفات.

القوانين والمفاهيم المستخدمة تشمل:

1. مصفوفة الوحدة ($\mathbf{I}$): مصفوفة مربعة ذات قيمتها الرئيسية تكون 1 والباقي 0 على الطرق الرئيسية.

2. مصفوفة العكس: إذا كانت $\mathbf{A}$ مصفوفة قابلة للعكس، فإن مصفوفتها المقلوبة $\mathbf{A}^{-1}$ هي تلك التي عند ضربها في $\mathbf{A}$ تنتج مصفوفة الوحدة.

3. ضرب المصفوفات: لضرب مصفوفتين يجب أن يكون عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى يساوي عدد الصفوف في المصفوفة الثانية.

4. نظام المعادلات الخطية: يمكن استخدام الجبر الخطي لحل المعادلات الخطية والتي يمكن أن تمثل بواسطة المصفوفات.

باستخدام هذه القوانين والمفاهيم، نقوم بتطبيقها على المسألة. نتخذ المعادلات الناتجة عن ضرب مصفوفة العكس $\mathbf{A}^{-1}$ بمصفوفة $\mathbf{A}$ ونستخدمها لحل النظام من المعادلات. يتيح لنا الحل الناتج من هذا النظام فهم القيم المفقودة وحساب المصفوفة $\mathbf{A}$.

في النهاية، بعد حساب $X$ والمصفوفة $\mathbf{A}$، نستخدم ضرب المصفوفات لحساب المصفوفة $\mathbf{A}^2$، والتي يتوجب أن تكون معروفة من السؤال. يتطلب الحل الدقيق الانتباه للتفاصيل والعلاقات بين المتغيرات والمصفوفات.