مسائل رياضيات

حل مسألة: المصفوفات والجبر الخطي (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 02/03/2024
0

لنقوم بتعريف المصفوفة $\mathbf{A}$ كما هو معطى:

A=(0130)\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}

نريد إيجاد الفيكتور $\mathbf{v}$ بحيث:

مواضيع ذات صلة
(A8+A6+A4+A2+I)v=(0X)(\mathbf{A}^8 + \mathbf{A}^6 + \mathbf{A}^4 + \mathbf{A}^2 + \mathbf{I}) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ X \end{pmatrix}

حيث $\mathbf{I}$ هي المصفوفة الوحدة.

لحل هذه المعادلة، أولاً يجب حساب $\mathbf{A}^2$, $\mathbf{A}^4$, $\mathbf{A}^6$, و $\mathbf{A}^8$.

نبدأ بحساب أعداد القوى للمصفوفة $\mathbf{A}$:

A2=A×A=(0130)×(0130)=(3003)\mathbf{A}^2 = \mathbf{A} \times \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}
A4=A2×A2=(3003)×(3003)=(9009)\mathbf{A}^4 = \mathbf{A}^2 \times \mathbf{A}^2 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}
A6=A4×A2=(9009)×(3003)=(270027)\mathbf{A}^6 = \mathbf{A}^4 \times \mathbf{A}^2 = \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 27 & 0 \\ 0 & 27 \end{pmatrix}
A8=A6×A2=(270027)×(3003)=(810081)\mathbf{A}^8 = \mathbf{A}^6 \times \mathbf{A}^2 = \begin{pmatrix} 27 & 0 \\ 0 & 27 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 81 & 0 \\ 0 & 81 \end{pmatrix}

الآن، نستخدم هذه الأعداد لحساب المصفوفة:

(A8+A6+A4+A2+I)=(810081)+(270027)+(9009)+(3003)+(1001)(\mathbf{A}^8 + \mathbf{A}^6 + \mathbf{A}^4 + \mathbf{A}^2 + \mathbf{I}) = \begin{pmatrix} 81 & 0 \\ 0 & 81 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 27 & 0 \\ 0 & 27 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
=(12100121)= \begin{pmatrix} 121 & 0 \\ 0 & 121 \end{pmatrix}

الآن، نقوم بحل المعادلة المصفوفاتية:

(12100121)v=(0X)\begin{pmatrix} 121 & 0 \\ 0 & 121 \end{pmatrix} \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ X \end{pmatrix}

من المعادلة أعلاه، نجد أن $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 \ \frac{X}{121} \end{pmatrix}$.

وبما أن الجواب المطلوب هو 11، فإننا نضع معادلة:

X121=11\frac{X}{121} = 11

حل المعادلة يعطينا:

X=11×121=1331X = 11 \times 121 = 1331

إذاً، القيمة المطلوبة للمتغير $X$ هي 1331.

المزيد من المعلومات

لحل المسألة وإيجاد قيمة المتغير XX، نستخدم قوانين الجبر الخطي والعمليات الحسابية المعتادة على المصفوفات.

أولاً، بدأنا بتحديد المصفوفة A\mathbf{A} كما هو معطى في المسألة:

A=(0130)\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}

ثم حسبنا الأعداد الأصغر من القوى للمصفوفة A\mathbf{A}، وذلك باستخدام قوانين الضرب المصفوفاتي:

A2=(0130)×(0130)=(3003)\mathbf{A}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}
A4=A2×A2=(3003)×(3003)=(9009)\mathbf{A}^4 = \mathbf{A}^2 \times \mathbf{A}^2 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}
A6=A4×A2=(9009)×(3003)=(270027)\mathbf{A}^6 = \mathbf{A}^4 \times \mathbf{A}^2 = \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 27 & 0 \\ 0 & 27 \end{pmatrix}
A8=A6×A2=(270027)×(3003)=(810081)\mathbf{A}^8 = \mathbf{A}^6 \times \mathbf{A}^2 = \begin{pmatrix} 27 & 0 \\ 0 & 27 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 81 & 0 \\ 0 & 81 \end{pmatrix}

بعد ذلك، قمنا بجمع هذه الأعداد للحصول على المصفوفة:

(A8+A6+A4+A2+I)=(810081)+(270027)+(9009)+(3003)+(1001)=(12100121)(\mathbf{A}^8 + \mathbf{A}^6 + \mathbf{A}^4 + \mathbf{A}^2 + \mathbf{I}) = \begin{pmatrix} 81 & 0 \\ 0 & 81 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 27 & 0 \\ 0 & 27 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 121 & 0 \\ 0 & 121 \end{pmatrix}

ثم قمنا بحل المعادلة المصفوفاتية:

(12100121)v=(0X)\begin{pmatrix} 121 & 0 \\ 0 & 121 \end{pmatrix} \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ X \end{pmatrix}

ووجدنا أن v=(0X121)\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{X}{121} \end{pmatrix}.

أخيرًا، حللنا المعادلة الناتجة للقيمة المطلوبة XX وجدنا X=11×121=1331X = 11 \times 121 = 1331.

القوانين المستخدمة في هذا الحل تتضمن قوانين الجبر الخطي للضرب والجمع المصفوفاتي، بالإضافة إلى استخدام المصفوفة الوحدة I\mathbf{I} وخواص الأعداد الطبيعية للتعامل مع القوى.

اخر تحديث 02/03/2024
0