حل مسألة المصفوفات: قوانين الجبر الخطي (مسألة رياضيات)

لنبحث عن المصفوفة $\mathbf{M}$ التي تحقق المعادلة
$\mathbf{M} \begin{pmatrix} -3 & 4 & 0 \\ 5 & -7 & 0 \\ X & 0 & 1 \end{pmatrix} = \mathbf{I}.$

حيث أن $\mathbf{I}$ تمثل المصفوفة الهوية. المصفوفة الهوية هي المصفوفة التي تحتوي على القيم 1 على القطر الرئيسي، والقيم 0 في باقي الخلايا.

بما أنه من المعروف أن ضرب المصفوفات يتبع قاعدة الضرب العادي، يمكننا استخدام ذلك لحل المعادلة.

لنفترض أن المصفوفة $\mathbf{M}$ تبدو كالتالي:
$\mathbf{M} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}.$

إذا قمنا بضرب $\mathbf{M}$ في المصفوفة المعطاة، يجب أن نحصل على المصفوفة الهوية:
$\begin{pmatrix} -3a + 5d + Xg & 4a – 7d & c \\ -3b + 5e + Xh & 4b – 7e & f \\ -3c + 5f + Xi & 4c – 7f & i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

من المعادلة أعلاه، يمكننا ملاحظة أن عناصر القطر الرئيسي للمصفوفة الهوية هي 1، وبالتالي، يجب أن تكون القيم في القطر الرئيسي للناتج هي 1.

لذلك، يجب أن يكون:
$4b – 7e = 1 \quad \text{و} \quad -3c + 5f + i = 1.$

نلاحظ أن المعادلات الأخرى في الناتج لا تتعلق بالقيم المطلوبة.

من المعادلة الأولى، نجد أن:
$4b – 7e = 1 \Rightarrow 4b = 7e + 1.$

ومن المعادلة الثانية، نجد أن:
$-3c + 5f + i = 1 \Rightarrow 5f = 3c – i + 1.$

نستطيع أيضًا ملاحظة أنه في المصفوفة المعطاة، يجب أن تكون عناصر الصف الثالث هي الصفر باستثناء العنصر $X$ في المكان $(3,1)$.

بالتالي، يجب أن يكون $g = 0$، و $h = 0$، و $i = 1$.

بالتالي، نحصل على العلاقات التالية:
$4b = 7e + 1, \quad 5f = 3c – 1, \quad g = 0, \quad h = 0, \quad i = 1.$

لكن يمكننا أيضًا ملاحظة أن $\mathbf{M}$ هي مصفوفة عكسية للمصفوفة المعطاة. وبالتالي، يمكننا استخدام العلاقة التالية:
$\mathbf{M}^{-1} \begin{pmatrix} -3 & 4 & 0 \\ 5 & -7 & 0 \\ X & 0 & 1 \end{pmatrix} = \mathbf{I}.$

وبالتالي، نحصل على المعادلات التالية:
$4d = -3a, \quad 5e = -5b, \quad 3c + 1 = 5f, \quad Xg = -3a, \quad Xh = -5b, \quad Xi = -3c.$

ومن المعادلات الأولى والثانية، يمكننا أن نعيد ترتيب العلاقات كالتالي:
$d = -\frac{3}{4}a, \quad e = -\frac{5}{4}b.$

ومن المعادلة الثالثة، نجد أن:
$5f = 3c + 1 \Rightarrow f = \frac{3c + 1}{5}.$

الآن، لنعرف قيمة $X$، نستخدم المعادلات الأخيرة. من $Xg = -3a$، ونعلم أن $g = 0$، فإن $Xg = 0$. وبالتالي، يجب أن تكون $-3a = 0$، أي $a = 0$.

من $Xh = -5b$، ونعلم أن $h = 0$، فإن $Xh = 0$. وبالتالي، يجب أن تكون $-5b = 0$، أي $b = 0$.

أخيرًا، من $Xi = -3c$، ونعلم أن $i = 1$، فإن $Xi = X$. وبالتالي، يجب أن تكون $-3c = X$، أي $c = -\frac{X}{3}$.

الآن، وباستخدام

لحل المسألة المعطاة، نستخدم عدة خطوات وقوانين من الجبر الخطي:

1. ضرب المصفوفات: للضرب بين مصفوفتين، نضرب كل صف في المصفوفة الأولى في كل عمود في المصفوفة الثانية، ونجمع الناتج للحصول على عنصر في المصفوفة الناتجة.

2. المصفوفة الهوية: هي مصفوفة مربعة حيث تكون القيم الرئيسية على القطر الرئيسي 1، والقيم الأخرى 0.

3. المصفوفة العكسية: إذا كانت المصفوفة $\mathbf{A}$ قابلة للعكس، فإن المصفوفة العكسية $\mathbf{A}^{-1}$ هي المصفوفة التي إذا تم ضربها بالمصفوفة الأصلية، فإن الناتج يكون المصفوفة الهوية.

باستخدام هذه القوانين والخطوات، نقوم بتحليل المعادلة المعطاة واستنتاج المصفوفة $\mathbf{M}$.

نقوم بضرب المصفوفة $\mathbf{M}$ بالمصفوفة المعطاة:
$\mathbf{M} \begin{pmatrix} -3 & 4 & 0 \\ 5 & -7 & 0 \\ X & 0 & 1 \end{pmatrix} = \mathbf{I}.$

نستخدم خواص الضرب للمصفوفات، حيث يتم ضرب كل صف في المصفوفة الأولى بكل عمود في المصفوفة الثانية ويتم جمع الناتجات للحصول على المصفوفة الناتجة.

بملاحظة أن المصفوفة الهوية $\mathbf{I}$ لها قيم 1 في القطر الرئيسي وقيم 0 في بقية المكان، نستنتج أن عناصر القطر الرئيسي في المصفوفة الناتجة يجب أن تكون 1.

نحلل العلاقات بين عناصر المصفوفة المعطاة والمصفوفة الناتجة للوصول إلى العلاقات بين عناصر المصفوفة $\mathbf{M}$.

نلاحظ أن العناصر $(1,2)$ و $(2,1)$ في المصفوفة المعطاة تحتوي على العلاقات التالية:
$4b – 7e = 1, \quad -3c + 5f + i = 1.$

نستخدم هذه العلاقات لتحديد قيم المتغيرات. كما نستخدم الحقيقة التي تمثل المصفوفة $\mathbf{M}$ عكس المصفوفة المعطاة لتحديد المتغيرات الأخرى.

باستخدام العلاقات وقوانين الجبر الخطي، نستنتج قيمة $X$ وهي الحل للمسألة المطلوبة.

بالتالي، الحل للمسألة يتطلب استخدام قوانين الجبر الخطي مثل ضرب المصفوفات، المصفوفة الهوية، والمصفوفة العكسية لتحديد المصفوفة $\mathbf{M}$ والمتغير $X$ في المسألة المعطاة.