حل مسألة المصافحات: عدد الأشخاص في الحفل

عدد الأشخاص في الحفل = عدد اليدين التي تم مصافحتها ÷ 2

إذاً، عدد الأشخاص في الحفل = جمع الأعداد الصحيحة من 1 إلى عدد الأشخاص – 1

لحساب عدد اليدين التي تم مصافحتها، يمكننا استخدام الصيغة التالية:
عدد اليدين = (عدد الأشخاص × (عدد الأشخاص – 1)) ÷ 2

بالتالي:
120 = (عدد الأشخاص × (عدد الأشخاص – 1)) ÷ 2

نضرب في 2 للتخلص من المقام:
240 = عدد الأشخاص × (عدد الأشخاص – 1)

نقوم بتنظيف المعادلة وتحويلها إلى معادلة من الدرجة الثانية:
عدد الأشخاص² – عدد الأشخاص – 240 = 0

نستخدم الصيغة التالية لحساب الجذرين:
$عدد الأشخاص = \frac{-ب \pm \sqrt{ب^2 – 4أج}}{2أ}$

حيث:
$أ = 1, ب = -1, ج = -240$

نقوم بحساب القيمة:
$عدد الأشخاص = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 960}}{2}$

$عدد الأشخاص = \frac{1 \pm \sqrt{961}}{2}$

$عدد الأشخاص = \frac{1 \pm 31}{2}$

لدينا اثنين من الحلول:
$عدد الأشخاص = \frac{1 + 31}{2} = 16$
أو
$عدد الأشخاص = \frac{1 – 31}{2} = -15$

نرفض الحل السلبي لأن الأشخاص لا يمكن أن يكونوا بعدد سلبي. إذاً، العدد الإجمالي للأشخاص في الحفل هو 16.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتطبيق بعض القوانين الرياضية والجبر. سنتبع الخطوات التالية:

المعلومات المعطاة:

1. عدد اليدين التي تم مصافحتها = 120.

نعلم أن كل شخص يمكنه مصافحة كل الأشخاص الآخرين في الحفل، وهذا يعني أننا نحتاج إلى حساب عدد الأشخاص الذين شاركوا في المصافحات.

خطوات الحل:

1. نمثل عدد الأشخاص بـ $n$.
2. عدد اليدين التي تم مصافحتها يكون مجموع الأعداد من 1 إلى $n-1$ (لأن كل شخص يمكنه مصافحة الآخرين).
3. نستخدم الصيغة التالية لحساب عدد اليدين:
   $عدد اليدين = \frac{n \cdot (n-1)}{2}$
4. نضع قيمة عدد اليدين المعطاة في المسألة في الصيغة:
   $120 = \frac{n \cdot (n-1)}{2}$
5. نضرب في 2 لتخليصنا من المقام:
   $240 = n \cdot (n-1)$
6. نقوم بتنظيف المعادلة ونحولها إلى معادلة من الدرجة الثانية:
   $n^2 – n – 240 = 0$
7. نستخدم الصيغة العامة لحساب الجذرين للعثور على قيمة $n$:
   $n = \frac{-ب \pm \sqrt{ب^2 – 4أج}}{2أ}$
   حيث $أ = 1$, $ب = -1$, $ج = -240$.
8. نحسب القيمة:
   $n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 960}}{2}$
   $n = \frac{1 \pm \sqrt{961}}{2}$
   $n = \frac{1 \pm 31}{2}$
   الحلول الممكنة هي $n = 16$ أو $n = -15$.

نرفض الحل السلبي ($n = -15$) لأن الأشخاص لا يمكن أن يكونوا بعدد سلبي. إذاً، العدد الإجمالي للأشخاص في الحفل هو 16.

القوانين المستخدمة:

1. قانون جمع الأعداد الصحيحة من 1 إلى $n-1$: $\frac{n \cdot (n-1)}{2}$.
2. حل معادلة درجة ثانية باستخدام الصيغة العامة للجذور: $\frac{-ب \pm \sqrt{ب^2 – 4أج}}{2أ}$.