حل مسألة: المستقيمات المتعامدة (مسألة رياضيات)

معاد ترتيب المعادلات:

من المعادلة الأولى: $2y = -x – 3$

نقوم بقسمة كل جانب من المعادلة على $2$: $y = -\frac{1}{2}x – \frac{3}{2}$

من المعادلة الثانية: $3y = -ax – 2$

نقوم بقسمة كل جانب من المعادلة على $3$: $y = -\frac{a}{3}x – \frac{2}{3}$

نحتاج إلى معرفة قيمة $a$ التي تجعل الميل (المعامل الزاوي) للمستقيمين المعطيين متعامدة. الميل يتم حسابه من المعادلة العامة للمستقيم $y = mx + c$، حيث $m$ هو الميل. لمعرفة متى يكون الميلان متعامدين، نستخدم العلاقة التالية بين الميلين:

$m_1 \times m_2 = -1$

حيث $m_1$ و $m_2$ هما الميلان.

لذا، نقارن المعاملات الزاويّة $-\frac{1}{2}$ و $-\frac{a}{3}$ ونجد:

$-\frac{1}{2} \times -\frac{a}{3} = -\frac{1}{2} \times \frac{3}{a} = \frac{1}{2}a = -1$

من ذلك، نجد $a = -2$.

وبالتالي، القيمة التي تجعل المستقيمين متعامدين هي $a = -2$.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم الميل (المعامل الزاوي) للمستقيمات وشرط العمودية بين المستقيمين.

المستقيمات متعامدة إذا كان حاصل ضرب ميل الخط الأول في ميل الخط الثاني يساوي -1.

لدينا المستقيمين:

1. $2y + x + 3 = 0$ (يمكن تحويلها إلى $y = -\frac{1}{2}x – \frac{3}{2}$ للحصول على الميل)
2. $3y + ax + 2 = 0$ (يمكن تحويلها إلى $y = -\frac{a}{3}x – \frac{2}{3}$ للحصول على الميل)

نستخدم حاصل الضرب للميلين لمعرفة إذا كانت المستقيمات متعامدة:

حيث $m_1$ و $m_2$ هما الميلان.

لذا، نحصل على الميل للمستقيم الأول: $m_1 = -\frac{1}{2}$ والميل للمستقيم الثاني: $m_2 = -\frac{a}{3}$.

الآن نقوم بإيجاد حاصل الضرب:

من هذا نحصل على العلاقة التالية:

لحل المعادلة، نضرب كل طرف في المعادلة في -2:

ونحصل على:

$a = -2$

وهكذا، قيمة $a = -2$ تجعل المستقيمين متعامدين.

يُستخدم في هذا الحل الميل والعلاقة بين ميل المستقيمين لتحديد إذا كانا متعامدين، وهي قاعدة مهمة في الهندسة الرياضية والجبر.