حل مسألة: المسافة بين نقطتين في المستوى (مسألة رياضيات)

نعتبر $A$ هو الرأس (النقطة القمة) للمعادلة $y = x^2 – 2x + 3$، ونعتبر $B$ هو الرأس للمعادلة $y = x^2 + 4x + X$. الهدف هو حساب المسافة بين $A$ و $B$.

لحساب المسافة بين نقطتين في المستوى، نستخدم المعادلة التالية:

$\text{المسافة} = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

حيث أن $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ هما إحدى النقطتين. في حالتنا، نريد حساب المسافة بين $A$ و $B$، لذا سنقوم بوضع قيم $x$ و $y$ المتعلقة بكل رأس في هذه المعادلة.

لنبدأ بحساب الموقع الدقيق للنقطة $A$. نعلم أن المعادلة للرأس $A$ هي $y = x^2 – 2x + 3$. لحساب الرأس، نقوم بتكميل المربع لهذه المعادلة:

$y = (x – 1)^2 + 2$

لذا، الرأس $A$ هو $(1, 2)$.

الآن، نحتاج إلى حساب الموقع الدقيق للنقطة $B$. المعادلة هنا هي $y = x^2 + 4x + X$. نقوم بتكميل المربع كما فعلنا مع $A$:

$y = (x + 2)^2 – 4 + X$

لذا، الرأس $B$ هو $(-2, X – 4)$.

الآن، نقوم بحساب المسافة بين $A$ و $B$ باستخدام المعادلة السابقة:

$\text{المسافة} = \sqrt{((-2) – 1)^2 + ((X – 4) – 2)^2}$

$= \sqrt{9 + (X – 6)^2}$

ونعلم أن هذه المسافة تساوي 5. لذا، نحصل على المعادلة التالية:

$5 = \sqrt{9 + (X – 6)^2}$

لحل هذه المعادلة، نربع الجهتين:

$25 = 9 + (X – 6)^2$

ثم نطرح 9 من الجهتين:

$16 = (X – 6)^2$

ومن ثم نستخرج الجذر التربيعي:

$4 = X – 6$

وأخيراً، نجمع 6 إلى الجهتين:

$X = 10$

إذاً، إذا كانت المسافة بين $A$ و $B$ تساوي 5، فإن قيمة المتغير $X$ هي 10.

في حل المسألة، استخدمنا العديد من القوانين والمفاهيم الرياضية للتوصل إلى الإجابة المطلوبة. السعي لفهم هذه القوانين والتقنيات يمكن أن يساعد في تعميق الفهم الرياضي وتطبيقه بشكل أفضل. إليك بعض التفاصيل الإضافية لحل المسألة:

1. معادلة الرأس:
   للعثور على الموقع الدقيق للرأس، قمنا بتكميل المربع للمعادلة الرباعية للقوس الناقص بطرح معامل $x^2$ و $x$ وثابت الحدّ من المعادلة. هذا يعطينا المعادلة في شكل القوس التام.

2. حساب المسافة بين نقطتين:
   استخدمنا معادلة المسافة بين نقطتين في المستوى، حيث يُمثل $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ إحدى النقطتين. المعادلة هي:
   $\text{المسافة} = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

3. تكميل المربع:
   قمنا بتكميل المربع لتحويل المعادلة إلى شكل يسهل العمل معه. هذا يُسهم في تحليل الخصائص الهندسية للقوس.

4. حل المعادلة التربيعية:
   حلنا المعادلة التربيعية للمسافة للعثور على القيمة المجهولة $X$. هذا يشمل رفع الجهتين إلى الأس 2 واستخدام خاصية الجذر التربيعي.

5. تبسيط المعادلات:
   في كل مرحلة من الحل، قمنا بتبسيط المعادلات لجعل الحسابات أكثر فهماً وسهولة.

هذه الخطوات تمثل جزءًا من العملية الرياضية الشاملة في حل المسألة. يُفضل دائماً فهم القوانين والخطوات التي تستخدم في الحل لتعزيز المفهوم الرياضي وتحسين المهارات الحسابية.