حل مسألة المسافات والسرعات بالرياضيات

B يبدأ في المشي من مكان بسرعة ثابتة قدرها 4 كيلومترات في الساعة في اتجاه معين. بعد نصف ساعة، يبدأ A من نفس المكان ويسير في نفس اتجاه B بسرعة ثابتة، ويتجاوز A بعد 1 ساعة و 48 دقيقة. احسب سرعة B.

لنقم بتعريف بعض المتغيرات لتسهيل الحل:

• سرعة A: VA (بالكيلومتر في الساعة)
• سرعة B: VB (بالكيلومتر في الساعة)
• الزمن الذي يستغرقه A ليتم تجاوزه من قبل B: T (بالساعات)

نعلم أن المسافة التي يقطعها A خلال هذا الزمن تكون نصف ساعة أقل من المسافة التي يقطعها B خلال نفس الزمن، لأن B قد أمضى نصف ساعة بالفعل.
لذا، يمكننا كتابة المعادلة التالية:
$VA \times (T – 0.5) = VB \times T$

ونعلم أن الفرق بين الزمن الذي يستغرقه B لتجاوز A والزمن الذي يستغرقها A ليتم تجاوزها هو 1 ساعة و 48 دقيقة، أي $T – (T – 0.5) = 1.8$ ساعة.
تحول 48 دقيقة إلى ساعات (48 ÷ 60 = 0.8)، لذا $T – (T – 0.5) = 1 + 0.8 = 1.8$ ساعة.
لذا، المعادلة الثانية تصبح:
$T – (T – 0.5) = 1.8$

الآن لدينا نظام معادلات، يمكننا حله للحصول على قيم $VA$ و $VB$:
$VA \times (T – 0.5) = VB \times T$
$T – (T – 0.5) = 1.8$

بعد الحسابات، نجد أن $T = 2.3$ ساعة و $VA = 4$ كيلومتر في الساعة.
الآن يمكننا استخدام أي من المعادلتين لحساب سرعة B ($VB$):
$4 \times (2.3 – 0.5) = VB \times 2.3$
$VB \approx \frac{3.5}{1.8} \approx 1.944$

إذا كانت سرعة B تقريباً 1.944 كيلومتر في الساعة.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مبدأ المسافة المتساوية. وفيما يلي الخطوات التفصيلية:

1. تعريف المتغيرات:

   • سرعة المشي لـ A: $VA$
   • سرعة المشي لـ B: $VB$
   • الزمن الذي يستغرقه A ليتم تجاوزه: $T$ (بالساعات)

2. تحديد المعادلة الأولى:

   • المسافة التي يقطعها A خلال الفاصل الزمني $(T-0.5)$ (نصف ساعة) تكون مسافة $VA \times (T-0.5)$.
   • المسافة التي يقطعها B خلال نفس الفاصل الزمني $T$ تكون مسافة $VB \times T$.
   • وفقًا لمبدأ المسافة المتساوية، يكونون متساوين:
     $VA \times (T-0.5) = VB \times T$

3. تحديد المعادلة الثانية:

   • الفارق بين الزمن الذي يستغرقه B لتجاوز A والزمن الذي يستغرقه A ليتم تجاوزها هو 1 ساعة و 48 دقيقة، أي 1.8 ساعة.
   • نكتب المعادلة:
     $T – (T – 0.5) = 1.8$

4. حل المعادلات:

   • حل المعادلات الناتجة عن نظام المعادلات للحصول على قيم $T$ و $VA$، ثم استخدام هذه القيم لحساب $VB$.

5. الحصول على قيم $T$ و $VA$:

   • بحل المعادلات، نجد أن $T = 2.3$ ساعة و $VA = 4$ كيلومتر في الساعة.

6. حساب $VB$:

   • نستخدم إحدى المعادلات الأصليتين لحساب $VB$:
     $4 \times (2.3 – 0.5) = VB \times 2.3$
   • بعد الحساب، نجد أن $VB \approx \frac{3.5}{1.8} \approx 1.944$ كيلومتر في الساعة.

القوانين المستخدمة:

1. مبدأ المسافة المتساوية:

   • يقول إن المسافة التي يقطعها جسم بسرعة ثابتة هي المنتج بين السرعة والزمن.
   • يمكن استخدامه للتعامل مع حركة أجسام متحركة بسرعات متغيرة أو غير ثابتة.

2. الزمن والمسافة:

   • يتيح لنا العمل مع وحدات الزمن (الساعات) والمسافة (الكيلومترات) لتحديد السرعة والمسافة المقطوعة.

3. حساب الزمن:

   • يتيح لنا معرفة كيفية حساب الزمن باستخدام المعلومات المتاحة والعلاقات بين الزمن والمسافة.

4. التعامل مع وحدات القياس:

   • يشمل تحويل الوحدات عند الحاجة للتأكد من توافق الوحدات في المعادلات والحسابات.