حل مسألة: المساحة القصوى للفناء المستطيل (مسألة رياضيات)

تريد ريتشارد بناء فناء خلفي مستطيل الشكل باستخدام X قدم من السياج، حيث يجب أن يغطي السياج ثلاثة جوانب من الفناء الخلفي (الجانب الرابع متاخم لمنزل ريتشارد). ما هي المساحة القصوى لهذا الفناء؟
إذا كنا نعلم أن الإجابة على السؤال أعلاه هي 16200، فما هي قيمة المتغير المجهول X؟

المعاد صياغتها الرياضياً، يُعبَّر عن طول السياج المتاح بالمتغير X. سنفترض أن الفناء المستطيل يتكون من جانبين متساويين وجانب قائم على الجانبين المتساويين.

فلنبدأ بتحليل الوضع، حيث يمكن تقسيم السياج إلى ثلاثة أجزاء: الجانبين المتساويين (العرض) والجانب الآخر (الطول). لذا، يتمثل المحيط P في المعادلة:

$P = 2w + l$

ومن الشروط المفروضة في المسألة، نعلم أن قيمة $l$ (الطول) هي الجانب المواجه للمنزل ولا يتم حساب السياج له. وبالتالي، $l$ يساوي طول الفناء الخلفي الذي نرمز له بـ $L$.

إذاً، يصبح المحيط:

$P = 2w + L$

ونعلم أيضاً أن مساحة المستطيل تُعبَّر عنها بالمعادلة:

$A = w \times L$

نريد أن نعرف المساحة القصوى للمستطيل، لذا نقوم بتعبير $L$ بالنسبة لـ $w$ باستخدام المحيط $P$، إذاً:

$L = \frac{P – 2w}{2}$

الآن، نستبدل قيمة $L$ في معادلة المساحة:

$A = w \times \left(\frac{P – 2w}{2}\right)$

وهذه المساحة هي الوظيفة التي نريد تحسينها. لحساب القيمة القصوى للمساحة، نقوم بحساب الإشتقاق الأول ونجد القيمة التي يكون فيها الإشتقاق الثاني صفر:

$A’ = \frac{dA}{dw} = \frac{1}{2} \left(P – 4w\right)$

ثم، نقوم بوضع $A’ = 0$ وحل المعادلة للعثور على قيمة $w$ التي تعطي أقصى قيمة للمساحة.

$0 = \frac{1}{2} \left(P – 4w\right)$
$4w = P$
$w = \frac{P}{4}$

بعد ذلك، نستخدم قيمة $w$ لحساب قيمة $L$ باستخدام المعادلة التي حصلنا عليها سابقًا:

$L = \frac{P – 2w}{2}$
$L = \frac{P – 2\left(\frac{P}{4}\right)}{2}$
$L = \frac{P – \frac{P}{2}}{2}$
$L = \frac{P}{4}$

الآن، بعد أن حصلنا على قيمة $w$ و $L$، نقوم بحساب المساحة باستخدام أي من العلاقتين التاليتين:

$A = w \times L$
$A = \frac{P}{4} \times \frac{P}{4}$
$A = \frac{P^2}{16}$

وبما أن القيمة القصوى للمساحة هي 16200، نقوم بحل المعادلة التالية لإيجاد قيمة $P$:

$16200 = \frac{P^2}{16}$
$P^2 = 16200 \times 16$
$P^2 = 259200$
$P = \sqrt{259200}$
$P = 480$

إذاً، قيمة $P$، أو طول السياج الكلي، هي 480 قدمًا.

لحل المسألة وحساب المساحة القصوى للفناء المستطيل، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين الرياضية والمفاهيم الهندسية.

1. مفهوم المستطيل: المستطيل هو شكل هندسي يتألف من أربعة زوايا قائمة وجميع أضلاعه متوازية لأزواج.

2. المحيط والمساحة للمستطيل:

   • المحيط (P) للمستطيل يُحسب بجمع أطوال جميع الأضلاع: $P = 2w + 2l$ حيث $w$ هو العرض و $l$ هو الطول.
   • المساحة (A) للمستطيل تُحسب بضرب العرض في الطول: $A = w \times l$.

3. توزيع السياج: في المسألة المطروحة، نعلم أن السياج سيُستخدم لتغطية ثلاثة جوانب من الفناء، بينما الجانب الرابع متاخم للمنزل ولا يتطلب سياجاً.

4. استنتاجات الحل:

   • يتم توزيع السياج على الجانبين الطوليين وعلى الجانب العرضي للفناء.
   • نحن نبحث عن الأبعاد التي تعطي أقصى مساحة للفناء، وهي عندما تكون العرض والطول متساويين.

5. المسألة الرياضية:

   • سنبدأ بتعبير المحيط P بما يتوافق مع توزيع السياج: $P = 2w + l$.
   • سنستخدم شرط المسألة لتعويض قيمة l بالمعادلة للمحيط: $P = 2w + L$، حيث L هو الطول الجانب المواجه للمنزل.
   • بما أننا نريد معرفة المساحة القصوى، سنقوم بتعبيرها كدالة للعرض ونجد قيمة العرض التي تُعطي أقصى قيمة للمساحة.

6. الحسابات:

   • نجد الإشتقاق الأول للمساحة بالنسبة للعرض.
   • نضع الإشتقاق الأول يساوي صفر للعثور على القيمة التي تُعطي أقصى مساحة.
   • نقوم بحل المعادلات للعثور على قيمة العرض ومن ثم قيمة الطول.
   • نستخدم القيمتين لحساب المساحة القصوى.

7. النتيجة:

   • نحصل على قيمة للمحيط (P)، ومن ثم نستخدمها لحساب السياج المطلوب.
   • يتم العثور على المساحة القصوى للفناء باستخدام الأبعاد المحسوبة والتأكد من أن العرض يساوي الطول.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين الرياضية، يمكننا حل المسألة والوصول إلى الإجابة المطلوبة.