المثلثان $\triangle ABC$ و$\triangle DBC$ يشتركان في الضلع $BC$. الطول المعروفة هي $AB = 5\ \text{سم}$، $AC = 12\ \text{سم}$، $DC = X\ \text{سم}$، و$BD = 20\ \text{سم}$. نريد حساب أقل قيمة ممكنة لطول الضلع $BC$ بحيث يكون عددًا صحيحًا.
لحساب قيمة $BC$، يمكننا استخدام مبدأ عدم المساواة في المثلث. وفقًا لهذا المبدأ، مجموع طولي أي ضلعين في المثلث يجب أن يكون أكبر من طول الضلع الثالث.
لدينا:
وأيضًا:
الآن، للعثور على أقل قيمة ممكنة لـ $BC$، يجب أن نجعل هذين العددين الاثنين يكونان متساويين. إذاً:
الآن نحسب قيمة $X$:
لكن يجب أن يكون الطول إيجابيًا، لذا نقوم بتحويل العدد إلى قيمة موجبة:
إذاً، القيمة المطلوبة للمتغير $X$ هي $3\ \text{سم}$. والقيمة الأقل لطول $BC$ هي:
وبالتالي، الإجابة هي أن أقل قيمة عددية صحيحة لطول $BC$ هي 17 سم.
المزيد من المعلومات
لحل هذه المسألة، قمنا بتطبيق قاعدة عدم المساواة في المثلث. نستخدم القاعدة لضمان أن مجموع طولي أي ضلعين في المثلث يجب أن يكون أكبر من طول الضلع الثالث. هنا هي الخطوات التفصيلية والقوانين المستخدمة:
-
قاعدة عدم المساواة في المثلث:
في أي مثلث، لنكن $a$، $b$، و $c$ هي أطوال الأضلاع المقابلة للزوايا $A$، $B$، و $C$ على التوالي. إذاً:
هذه القوانين تحدد شرطًا أساسيًا للثبوت عدم وجود مثلث غير ممكن.
-
تطبيق القاعدة على $\triangle ABC$:
في المثلث $\triangle ABC$، حيث $AB = 5$ و $AC = 12$، نستخدم القاعدة للحصول على حد أدنى لطول $BC$:
-
تطبيق القاعدة على $\triangle DBC$:
في المثلث $\triangle DBC$، حيث $BD = 20$ و $DC = X$، نستخدم القاعدة للحصول على علاقة إضافية:
-
الجمع بين المعادلتين:
للحصول على أقل قيمة ممكنة لـ $BC$، نجعل المعادلتين متساويتين:
-
حل للمجهول $X$:
نقوم بحل المعادلة للحصول على قيمة $X$:
-
تحويل القيمة إلى إيجابية:
لأن الطول لا يمكن أن يكون سالبًا، نأخذ القيمة المطلقة لـ $X$:
-
حساب قيمة $BC$:
نستخدم القيمة المحسوبة لـ $X$ في المعادلة:
لذلك، بناءً على هذه الخطوات والقوانين، نتوصل إلى أن القيمة الأقل لطول $BC$ هي 23 سم.