حل مسألة: المثلثات المتشابهة والأطوال (مسألة رياضيات)

طول أضلاع مثلث هو 6 سم، 7 سم، و 9 سم. في مثلث مماثل له، والمحيط 110 سم، ما هو طول الضلع الأطول بالسنتيمتر؟

المثلث الأول: طول الأضلاع هو 6، 7، و 9 سم.

المثلث الثاني: مثلث مماثل، نبحث عن طول الضلع الأطول.

لحل هذا السؤال، نحتاج إلى فهم العلاقة بين المثلثين. المثلثات المتشابهة تكون لها نسب طولية متناسبة.

للعثور على نسبة التشابه بين المثلثين، نقارن أطوال الأضلاع:
طول الضلع الأطول في المثلث الأول: 9 سم.
المحيط في المثلث الأول: $6 + 7 + 9 = 22$ سم.

نسبة التشابه بين المثلثين: $\frac{110}{22} = 5$.

نضرب أطوال أضلاع المثلث الأول في هذه النسبة للحصول على طول أضلاع المثلث الثاني:
طول الضلع الأطول في المثلث الثاني: $9 \times 5 = 45$ سم.

إذاً، طول الضلع الأطول في المثلث الثاني هو 45 سم.

لحل هذه المسألة، نحن بحاجة إلى الاستعانة بمفهوم المثلثات المتشابهة والقوانين المتعلقة بها.

1. المثلثات المتشابهة: عندما تكون زوايا المثلثين متساوية الزوايا وتتناسب أطوال أضلاعهما بنسبة ثابتة، فإن المثلثين يُعتبران متشابهين.

2. نسب التشابه: إذا كانت زوايا المثلثين متساوية وتتناسب أطوال أضلاعهما، فإن النسب بين أضلاع متناظرة متساوية.

الآن، دعنا نحل المسألة:

لدينا مثلث أصلي مع أضلاع 6، 7، و 9 سم، ونحن نبحث عن مثلث مماثل له مع محيط 110 سم.

أولاً، يجب أن نحسب نسبة التشابه بين المثلثين. نستخدم قانون النسبة للأضلاع المتشابهة:
$\text{نسبة التشابه} = \frac{\text{محيط المثلث الثاني}}{\text{محيط المثلث الأول}}$

محيط المثلث الأول:
$\text{محيط} = 6 + 7 + 9 = 22$ سم.

من المسألة، محيط المثلث الثاني هو 110 سم، لذا:
$\text{نسبة التشابه} = \frac{110}{22} = 5$

هذا يعني أن أطوال أضلاع المثلث الثاني هي 5 مرات أطوال أضلاع المثلث الأول.

الآن، نضرب كل طول من أضلاع المثلث الأصلي في 5 للحصول على أطوال المثلث الثاني:
طول الضلع الأطول في المثلث الثاني:
$9 \times 5 = 45$ سم.

لذا، الجواب هو أن طول الضلع الأطول في المثلث الثاني هو 45 سم.