حل مسألة: المتتابعة الهندسية والمتغيرات (مسألة رياضيات)

المتتابعة الهندسية لها العنصر الأول X والعنصر الثاني -6. العنصر الـ205 يساوي 6. ما قيمة المتغير المجهول X؟

لنقم بحساب النسبة الثابتة $r$ في المتتابعة الهندسية باستخدام العلاقة:

"Link To Share" هو منصتك التسويقية الشاملة لتوجيه جمهورك إلى كل ما تقدمه بسهولة واحترافية.

• صفحات بروفايل (Bio) عصرية ومخصّصة • تقصير روابط مع تحليلات متقدّمة • إنشاء رموز QR تفاعلية بعلامة تجارية • استضافة مواقع ثابتة وإدارة أكواد • أدوات ويب متنوعة لتنمية أعمالك

ابدأ الآن وارتقِ بمشاريعك!

$a_2 = a_1 \times r$

حيث $a_1$ هو العنصر الأول (X) و $a_2$ هو العنصر الثاني (-6).

$-6 = X \times r$

الآن لدينا العنصر العام $a_n$ في المتتابعة الهندسية:

$a_n = a_1 \times r^{(n-1)}$

نستخدم هذه العلاقة لحساب قيمة العنصر الـ205:

$6 = X \times r^{(205-1)}$

$6 = X \times r^{204}$

لكننا بحاجة إلى علاقة إضافية لحساب قيمة الـ $r$، ولنقم بذلك عبر استخدام العنصر الثاني:

$-6 = X \times r$

$r = \frac{-6}{X}$

الآن سنقوم بتعويض قيمة $r$ في المعادلة التي تمثل العنصر الـ205:

$6 = X \times \left(\frac{-6}{X}\right)^{204}$

الآن سنقوم بتبسيط التعبير. نلاحظ أن $\left(\frac{-6}{X}\right)^{204} = \left(\frac{-6}{X}\right)^{204}$ يمكن أن يكون موجبا أو سالبا، ولكن لأن العنصر الـ205 موجب، يجب أن يكون النسبة $r$ موجبة:

$6 = X \times \left(\frac{-6}{X}\right)^{204} = 6$

الآن نحتاج إلى حل المعادلة:

$X \times \left(\frac{-6}{X}\right)^{204} = 6$

لكنها تتبسط إلى:

$\left(\frac{-6}{X}\right)^{204} = 1$

وهذا يحدث عندما $\frac{-6}{X} = 1$ أو $\frac{-6}{X} = -1$.

إذا كان $\frac{-6}{X} = 1$، فإن $X = -6$، وإذا كان $\frac{-6}{X} = -1$، فإن $X = 6$.

ولكن نعلم أن العنصر الثاني هو $-6$، لذا نستبعد الحل $X = -6$.

إذاً، القيمة الصحيحة للمتغير المجهول $X$ هي $6$.

لحل المسألة، استخدمنا مفهوم المتتابعة الهندسية والعلاقات الرياضية الخاصة بها. الآتي هو شرح مفصل للحل مع ذكر القوانين المستخدمة:

1. المتتابعة الهندسية: هي تسلسل من الأعداد حيث يتم ضرب كل عنصر في العنصر السابق بثابت معين يسمى النسبة الثابتة.

2. العلاقة العامة للعنصر الـ n في المتتابعة الهندسية: تعطى بالعلاقة:
   $a_n = a_1 \times r^{(n-1)}$
   حيث $a_n$ هو العنصر الـ n، $a_1$ هو العنصر الأول، $r$ هو النسبة الثابتة، و $n$ هو الموقع في المتتابعة.

3. العلاقة بين العناصر الأول والثاني في المتتابعة الهندسية: تكون عادةً على النحو التالي:
   $a_2 = a_1 \times r$

4. حل المعادلات العددية: يتضمن حل المعادلات الرياضية لإيجاد القيم المجهولة التي تحقق المعادلة.

بناءً على هذه القوانين، قمنا بحساب النسبة الثابتة $r$ باستخدام علاقة بين العناصر الأول والثاني، ومن ثم استخدمنا علاقة العناصر في المتتابعة الهندسية لتحديد قيمة العنصر الـ 205. بعد ذلك، قمنا بحل المعادلة لإيجاد القيمة المجهولة $X$ عن طريق استبعاد الحلول غير المنطقية.

بهذا الشكل، يمكننا استنتاج القيمة الصحيحة للمتغير المجهول $X$ بناءً على البيانات المعطاة في المسألة، واستخدام القوانين والعلاقات الرياضية المناسبة.