حل مسألة المتتابعة الهندسية: قيمة k (مسألة رياضيات)

نبدأ بإعادة صياغة المسألة بشكل مترجم:

نريد إيجاد قيمة $k$ التي تجعل المتتالية التالية تساوي 8:
$3 + \frac{3 + k}{4} + \frac{3 + 2k}{4^2} + \frac{3 + 3k}{4^3} + \dotsb = 8.$

الآن، لنبدأ في حل المسألة:

لنقم بتحويل المتتالية إلى مجموعة متتابعة هندسية. يبدو أن النسبة بين كل عنصر والعنصر التالي هي $\frac{1}{4}$.
ذلك يعني أننا نستطيع كتابة المتتالية على النحو التالي:

$S = 3 + \frac{3 + k}{4} + \frac{3 + 2k}{4^2} + \frac{3 + 3k}{4^3} + \dotsb$

$= 3 + \frac{3}{4} + \frac{k}{4} + \frac{3}{4^2} + \frac{2k}{4^2} + \frac{3}{4^3} + \frac{3k}{4^3} + \dotsb$

$= 3\left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \dotsb\right) + k\left(\frac{1}{4} + \frac{2}{4^2} + \frac{3}{4^3} + \dotsb\right)$

لاحظ أن المجموع الأول هو مجموع متتابعة هندسية بنسبة $\frac{1}{4}$، والمجموع الثاني هو مجموع متتابعة هندسية بنسبة $\frac{1}{4}$ أيضًا.

لحساب قيمة المجموع الأول، نستخدم الصيغة لمجموع المتتابعة الهندسية:
$S_1 = \frac{a}{1 – r}$
حيث $a$ هو العنصر الأول و $r$ هو النسبة.

وبالتالي،
$S_1 = \frac{3}{1 – \frac{1}{4}} = \frac{3}{\frac{3}{4}} = 4$

الآن، لحساب المجموع الثاني، نستخدم نفس الصيغة:
$S_2 = \frac{b}{1 – r}$
حيث $b$ هو العنصر الأول و $r$ هو النسبة.

هنا، $b = \frac{1}{4}$ و $r = \frac{1}{4}$.

$S_2 = \frac{\frac{1}{4}}{1 – \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}$

بالتالي، قيمة المتتالية تصبح:
$S = 3 \times 4 + k \times \frac{1}{3}$
$= 12 + \frac{k}{3}$

والآن، نضع قيمة المجموع التي أعطيت في المسألة ونحاول حل المعادلة:
$12 + \frac{k}{3} = 8$

نطرح 12 من الجانبين لنحصل على:
$\frac{k}{3} = 8 – 12$
$\frac{k}{3} = -4$

نضرب في 3 على الجانبين للتخلص من المقام:
$k = -12$

إذاً، القيمة التي تجعل المتتالية مساوية لـ 8 هي $k = -12$.

لحل المسألة المعطاة، بدأنا بتحويل المتتالية المعطاة إلى مجموعة متتابعة هندسية. ثم استخدمنا قوانين المتتابعات الهندسية للعناصر والمجموعات.

القوانين المستخدمة:

1. صيغة مجموع المتتابعة الهندسية: لمتتابعة هندسية تبدأ بالعنصر الأول $a$ وبنسبة $r$ بين كل عنصرين متتاليين، يكون مجموع العناصر $S$ مساويًا ل:
   $S = \frac{a}{1 – r}$

2. تمثيل المتتالية كمجموعات متتابعة هندسية: تمثيل المتتالية المعطاة كمجموعات متتابعة هندسية يساعد في فهم وحل المسألة بشكل أسهل وأكثر تنظيمًا.

3. الحساب الجبري: استخدمنا الجبر في حل معادلة القيمة المطلوبة للمتتالية، حيث تمثل المتتابعة المعطاة قيمة مجموعها وجعلناها تساوي 8، ثم حل المعادلة للحصول على قيمة $k$ المطلوبة.

باستخدام هذه القوانين والتقنيات، تمكنا من تحليل وحل المسألة بشكل دقيق وإيجاد قيمة $k$ التي تجعل المتتالية المعطاة تساوي 8.