حل مسألة المتبقيات بالقسمة. (مسألة رياضيات)

الشرط: $0\le n<19$ و $-200\equiv n\pmod{19}$

للحل:

البحث عن العدد الصحيح $n$ الذي يتفق مع الشرط المعطى.

يمكننا البدء بحل المعادلة $-200 \equiv n \pmod{19}$.

الهدف هو إيجاد $n$ الذي يمثل نفس الباقي عند قسمة $-200$ على $19$.

لنقم بذلك:

وهنا يتبقى $10$ عند قسمة $-200$ على $19$.

بالتالي، نحتاج إلى البحث عن $n$ الذي يجعل $n \equiv 10 \pmod{19}$.

لكن بالنظر إلى الشرط $0 \leq n < 19$ ، فإن القيمة الوحيدة التي تلبي هذا الشرط هي $n = 10$.

إذاً، القيمة الصحيح لـ $n$ التي تحقق الشرط المعطى هي $n = 10$.

لحل المسألة، نحتاج إلى فهم مفهوم العمليات الحسابية والقسمة بالباقي وعلاقتها بالمتبقيات.

لدينا المعادلة: $-200 \equiv n \pmod{19}$

أولاً، نستخدم قاعدة القسمة بالباقي التي تقول إن عند قسم عدد صحيح على عدد آخر، يكون لدينا باقي واحد يترك. هذا الباقي هو الفارق بين العدد وأقرب مضاعف للعدد الذي تم قسمته. في حالتنا، نريد معرفة الباقي عندما يتم قسم $-200$ على $19$.

في البداية، نقوم بالقسمة العادية:

الآن، نحن بحاجة لفهم ماذا يعني $10$ كباقي. هذا يعني أنه عند قسم $-200$ على $19$، يتبقى $10$.

بما أننا نبحث عن $n$، فنحن نريد أن نجد العدد الذي عند قسمه على $19$، يترك نفس الباقي $10$.

القانون الذي نعتمد عليه هو قانون المتبقيات في الحساب ال mod ، حيث نستخدمه لمطابقة المتبقيات.

وبما أن الشرط المعطى هو $0 \leq n < 19$، فالقيمة الوحيدة التي يمكن أن تأخذ $n$ هي تلك التي تجعلها تتساوى مع الباقي $10$.

لذا، القيمة الصحيح لـ $n$ التي تحقق الشرط المعطى هي $n = 10$.

يُلاحظ أن هذا الحل يعتمد على فهم العمليات الأساسية للقسمة بالباقي واستخدام قاعدة المتبقيات في الحساب ال mod.