حل مسألة اللوغاريتمات العددية (مسألة رياضيات)

لنعيد صياغة المسألة باللغة العربية:

لكل عدد صحيح $n$ أكبر من 1، نعرف $a_n = \dfrac{1}{\log_n 2002}$. ولنقم بتعريف $b = a_2 + a_3 + a_4 + a_5$ و $c= a_{10} + a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{14}$. الهدف هو إيجاد قيمة التعبير $b – c$.

الحل:
لحساب قيمة $b$، نحتاج إلى حساب $a_2$، $a_3$، $a_4$، و $a_5$، وبعد ذلك نجمعها معاً.

لحساب $a_2$، نقوم بتعويض $n = 2$ في التعبير $a_n = \dfrac{1}{\log_n 2002}$:

باستخدام القاعدة الطبيعية للملايين، نستطيع كتابة $\log_2 2002$ كـ $\dfrac{\ln 2002}{\ln 2}$.

بالتالي:

بنفس الطريقة، نحسب $a_3$، $a_4$، و $a_5$، ومن ثم نقوم بجمعها للحصول على $b$.

بالنسبة لـ $c$، نقوم بنفس العملية. نحسب $a_{10}$، $a_{11}$، $a_{12}$، $a_{13}$، و $a_{14}$، ثم نجمعها معاً.

بعد ذلك، نقوم بطرح قيمة $c$ من قيمة $b$ للحصول على الإجابة النهائية.

يرجى ملاحظة أن الحسابات الدقيقة للتعابير المذكورة يمكن أن تتطلب آلة حاسبة أو برنامج حساب رقمي.

بالطبع، سنقوم بتقديم تفاصيل أكثر لحل المسألة وذلك بشرح الخطوات بتفصيل وذكر القوانين والخوارزميات المستخدمة.

أولاً، لنحسب قيمة $a_n$ للعدد $n$ باستخدام التعبير $a_n = \dfrac{1}{\log_n 2002}$.
نحتاج إلى استخدام القاعدة الأساسية للملايين لتحويل اللوغاريتم الطبيعي $\ln$ إلى اللوغاريتم العشري $\log$.

لحساب $a_2$:

وباستخدام القاعدة الأساسية للملايين:

لذا:

نقوم بنفس العملية لحساب $a_3$، $a_4$، و $a_5$.

القوانين والخوارزميات المستخدمة هي:

1. قاعدة اللوغاريتم: نستخدم قواعد اللوغاريتم لتحويل القيم من نظام لوغاريتمي واحد إلى آخر.
2. الجمع والطرح: بمجرد حساب قيم $a_2$، $a_3$، $a_4$، و $a_5$، نقوم بجمعها للحصول على $b$، ثم نفعل نفس الشيء لحساب $c$.
3. التبسيط الجبري: نقوم بتبسيط التعابير الجبرية للوصول إلى الإجابة النهائية.

بعد ذلك، نقوم بطرح قيمة $c$ من قيمة $b$ للحصول على الإجابة النهائية.

هذا النوع من الحسابات يمكن تنفيذه بسهولة باستخدام الآلة الحاسبة أو برنامج حساب رقمي. ويمكن استخدام هذه القوانين في حل العديد من المسائل الرياضية الأخرى التي تتضمن اللوغاريتمات والجبر والحساب العددي.