حل مسألة اللوغاريتمات الثلاثية (مسألة رياضيات)

نريد حساب قيمة التالي:

$\sum_{k=2}^{63} \log_2\left(1 + \frac{1}{k}\right) \log_k 2 \log_{k+1} 2$

أولاً، لنقوم بإعادة كتابة المسألة بشكل مترجم:

نريد حساب مجموعة قيم التالية:
نستخدم الرموز والعلامات الرياضية التالية:
$\sum_{k=2}^{63} \log_2\left(1 + \frac{1}{k}\right) \log_k 2 \log_{k+1} 2$

الحل:

لحل هذه المسألة، سنقوم بتفكيك العبارة إلى جزئين، ثم نقوم بحل كل جزء بشكل منفصل ثم نقوم بجمع القيم معًا.

الجزء الأول: $\log_2\left(1 + \frac{1}{k}\right)$

هذا الجزء يمثل لنا اللوغاريتم الطبيعي لقيمة $1 + \frac{1}{k}$ بالقاعدة 2.

الجزء الثاني: $\log_k 2$

هذا الجزء يمثل لنا اللوغاريتم الطبيعي للعدد 2 بالقاعدة $k$.

الجزء الثالث: $\log_{k+1} 2$

هذا الجزء يمثل لنا اللوغاريتم الطبيعي للعدد 2 بالقاعدة $k + 1$.

الآن، لنقوم بحساب كل جزء بشكل منفصل:

للجزء الأول:
$\log_2\left(1 + \frac{1}{k}\right)$

نستخدم قاعدة اللوغاريتم:
$= \frac{\log\left(1 + \frac{1}{k}\right)}{\log 2}$

للجزء الثاني:
$\log_k 2$

نستخدم قاعدة اللوغاريتم:
$= \frac{\log 2}{\log k}$

للجزء الثالث:
$\log_{k+1} 2$

نستخدم قاعدة اللوغاريتم:
$= \frac{\log 2}{\log (k + 1)}$

الآن، لنقوم بحساب المجموعة باستخدام القيم التي حسبناها:

$\sum_{k=2}^{63} \left(\frac{\log\left(1 + \frac{1}{k}\right)}{\log 2}\right) \left(\frac{\log 2}{\log k}\right) \left(\frac{\log 2}{\log (k + 1)}\right)$

الآن، بما أننا حسبنا قيمة كل جزء، يمكننا الآن بدء حساب القيم:

لكل قيمة $k$ من 2 إلى 63، نستبدل القيم في العبارة ونقوم بالحساب.

نجمع جميع القيم التي حصلنا عليها لنحصل على القيمة النهائية للمجموعة المطلوبة.

لحل المسألة المعطاة:

$\sum_{k=2}^{63} \log_2\left(1 + \frac{1}{k}\right) \log_k 2 \log_{k+1} 2$

سنقوم بتطبيق مجموعة من الخطوات والقوانين الرياضية لحل المسألة.

1. قاعدة اللوغاريتم:
   قاعدة اللوغاريتم تقول إن $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$، حيث $c$ هو أي عدد حقيقي موجب غير مساوٍ للواحد.

2. تبسيط العبارات:
   سنقوم بتبسيط كل جزء من المسألة واحدًا تلو الآخر.

3. التبسيط الأول – جزء $\log_2\left(1 + \frac{1}{k}\right)$:
   سنستخدم قاعدة اللوغاريتم لتبسيط الجزء الأول:
   $\log_2\left(1 + \frac{1}{k}\right) = \frac{\log\left(1 + \frac{1}{k}\right)}{\log 2}$

4. التبسيط الثاني – جزء $\log_k 2$:
   هنا نستخدم قاعدة اللوغاريتم مرة أخرى:
   $\log_k 2 = \frac{\log 2}{\log k}$

5. التبسيط الثالث – جزء $\log_{k+1} 2$:
   نستخدم قاعدة اللوغاريتم مرة أخرى:
   $\log_{k+1} 2 = \frac{\log 2}{\log (k + 1)}$

6. حساب المجموعة:
   بعد تبسيط كل جزء، نقوم بحساب قيم المجموعة بوضع القيم في المسألة وحساب الناتج.

7. تطبيق الحدود:
   تقوم الحدود العليا والسفلى في المؤشرات لتحديد نطاق الحساب.

بعد تطبيق هذه الخطوات، سنحصل على الناتج النهائي للمجموعة المطلوبة.

هذه القوانين والخطوات تساعد في تبسيط وحل المسألة الرياضية بشكل دقيق ومنظم، مما يسهل عملية الحساب وفهم الخطوات المتبعة في الحل.