حل مسألة اللقاء بين الجسمين (مسألة رياضيات)

تبدأ نقطتان A و B من نقطة واحدة بفارق 90 كيلومتر. تنطلق A بسرعة 10 كيلومتر في الساعة وتنطلق B بسرعة 5 كيلومتر في الساعة. كل ساعة، يضاعفون سرعتهما. ما هو المسافة التي يقطعها A حتى يلتقي بـ B؟

لنحسب المسافة التي يقطعها A في كل ساعة:

• في الساعة الأولى: $10$ كم.
• في الساعة الثانية: $10 \times 2 = 20$ كم.
• في الساعة الثالثة: $10 \times 2^2 = 40$ كم.
• وهكذا نستمر في حساب المسافة في كل ساعة باستخدام القاعدة العامة: المسافة = السرعة × الزمن.

المسافة الكلية التي يقطعها A حتى يلتقي بـ B تكون مجموع هذه القيم:

$10 + 10 \times 2 + 10 \times 2^2 + \ldots$

هذا هو مجموع سلسلة هندسية مع نسبة التضاعف تكون 2. لنستخدم القاعدة العامة لمجموع سلسلة هندسية:

$S = a \left(\frac{r^n – 1}{r – 1}\right)$

حيث:

• $S$ هو المجموع الكلي.
• $a$ هو العنصر الأول في السلسلة، وهو $10$ كم.
• $r$ هو نسبة التضاعف، وهو $2$.
• $n$ هو عدد العناصر، وفي هذه الحالة يمثل عدد الساعات.

نضع القيم في القاعدة:

$S = 10 \left(\frac{2^n – 1}{2 – 1}\right)$

الآن، نحتاج إلى معرفة قيمة $n$ عندما يكون مجموع السلسلة يساوي 90 كم (المسافة بين A و B).

$10 \left(\frac{2^n – 1}{1}\right) = 90$

نحل للعثور على $n$:

$2^n – 1 = 9$

بمجرد حساب قيمة $n$، يمكننا استخدامها لحساب المسافة الكلية التي يقطعها A.

هذا هو حل المسألة بشكل مفصل.

لحل المسألة، سنعتمد على مفهوم الحركة والسرعة، ونستخدم القوانين التالية:

1. المسافة = السرعة × الزمن:
   يعبر هذا القانون عن العلاقة بين المسافة التي يقطعها الجسم وسرعته والزمن الذي يستغرقه في الحركة.

2. مجموع سلسلة هندسية:
   عندما يكون لدينا سلسلة من الأرقام حيث يتضاعف كل عنصر في السلسلة بنسبة ثابتة (نسبة التضاعف) للحصول على العنصر التالي، يمكننا حساب مجموع هذه السلسلة باستخدام القاعدة:
   $S = a \left(\frac{r^n – 1}{r – 1}\right)$
   حيث $S$ هو المجموع، $a$ هو العنصر الأول في السلسلة، $r$ هو نسبة التضاعف، و$n$ هو عدد العناصر.

3. حل المعادلات التربيعية:
   عندما نصادف معادلة تربيعية، مثل الحالة التي نحتاج فيها إلى حساب قيمة $n$، نستخدم قوانين حل المعادلات التربيعية.

الآن، سنقوم بتفصيل الحل:

1. حساب المسافة في كل ساعة:

   • في الساعة الأولى: $10$ كم.
   • في الساعة الثانية: $10 \times 2 = 20$ كم.
   • في الساعة الثالثة: $10 \times 2^2 = 40$ كم.
   • وهكذا.

2. استخدام مجموع سلسلة هندسية:
   نستخدم القاعدة لحساب المسافة الكلية التي يقطعها A حتى يلتقي B:
   $S = 10 \left(\frac{2^n – 1}{2 – 1}\right)$

3. حل معادلة للعثور على $n$:
   $10 \left(\frac{2^n – 1}{1}\right) = 90$
   نحل هذه المعادلة للعثور على قيمة $n$.

4. استخدام قيمة $n$ لحساب المسافة الكلية:
   بمجرد العثور على قيمة $n$، نستخدمها في القاعدة لحساب المسافة الكلية.

هذه القوانين والخطوات تتيح لنا فهم الحركة وحساب المسافة التي يقطعها الجسم في حالة متغيرة مع مرور الوقت.