حل مسألة: الكوساين والزوايا المتساوية (مسألة رياضيات)

المطلوب حساب قيمة عدد صحيح $n$، حيث $0 \leq n \leq 180$، بحيث $\cos n^\circ = \cos 259^\circ$.

نستخدم العلاقة الموجودة في السؤال:

$\cos n^\circ = \cos 259^\circ$

نعلم أن الدوال المثلثية تكرر قيمها بانتظام كل $360^\circ$، لذا يمكننا كتابة المعادلة بشكل مكافئ كالتالي:

$n^\circ = 259^\circ + 360^\circ \cdot k$

حيث $k$ عدد صحيح. لكننا مهتمون بالقيم التي تقع في نطاق $0 \leq n \leq 180$.

إذاً، نقوم بحساب القيم الممكنة لـ $n$ في النطاق المحدد. نبدأ بحل المعادلة:

$259^\circ + 360^\circ \cdot k = n^\circ$

لنحسب القيم الممكنة لـ $n$ في النطاق $0 \leq n \leq 180$، يكون:

$259^\circ \leq n^\circ \leq 259^\circ + 180^\circ$

نحل المعادلة للقيم الممكنة:

$259^\circ \leq 259^\circ + 360^\circ \cdot k \leq 259^\circ + 180^\circ$

نلاحظ أنه يمكن أن يكون $k=0$ لأنه سيعطينا القيمة $259^\circ$ التي تقع ضمن النطاق. لذا:

$259^\circ \leq n^\circ \leq 259^\circ + 180^\circ$

وبالتالي، القيمة الوحيدة التي تقع ضمن هذا النطاق هي $n = 259^\circ$.

إذاً، القيمة الصحيحة لـ $n$ هي $259$.

لحل مسألة حساب قيمة الزاوية $n$ بحيث $\cos n^\circ = \cos 259^\circ$، نحتاج إلى فهم بعض القوانين والمفاهيم المتعلقة بالدوال المثلثية.

1. القانون الأساسي للدوال المثلثية:
   ينص هذا القانون على أن قيمة دالة المثلثات (الساين، الكوساين، والتانجنت) لزاوية ما في المثلث القائم تكون نسبة لأطوال الأضلاع في المثلث.

2. الدوران والتكرار:
   الدوال المثلثية تتكرر بانتظام كل $360^\circ$، مما يعني أن $\cos(x) = \cos(x + 360^\circ)$ لأي قيمة للزاوية $x$.

بناءً على هذه القوانين، نأخذ المسألة ونطبقها كالتالي:

معطيات المسألة:
$\cos n^\circ = \cos 259^\circ$

نعلم أن:
$\cos n^\circ = \cos (360^\circ – n)^\circ$
(لأن الكوساين تتكرر بانتظام كل $360^\circ$)

لذا، يمكن كتابة المعادلة على النحو التالي:
$\cos n^\circ = \cos (360^\circ – n)^\circ = \cos 259^\circ$

الآن نقوم بحل المعادلة:
$360^\circ – n = 259^\circ$
$n = 360^\circ – 259^\circ = 101^\circ$

لكن نحتاج إلى التحقق من النطاق الذي يحدد المسألة، وهو $0 \leq n \leq 180$.

لكن من الواضح أن $n = 101^\circ$ ليس من ضمن هذا النطاق، لذا نحاول البحث عن الحل الآخر.

نعلم أن:
$\cos (360^\circ – n) = \cos n$

لذا:
$360^\circ – 259^\circ = 101^\circ$

القيمة $101^\circ$ خارج النطاق $0 \leq n \leq 180$.

بالتالي، الحل الوحيد الذي يقع ضمن هذا النطاق هو $n = 259^\circ$.

باختصار، الخطوات الرئيسية في حل هذه المسألة تتضمن فهم الخصائص الأساسية للدوال المثلثية والدوران، واستخدامها لتحديد القيم الممكنة وتحديد الحل النهائي الذي ينطبق على النطاق المحدد.