مسائل رياضيات

حل مسألة الكسور الجبرية. (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 29/02/2024
0

لنفترض أن $\omega$ هو جذر غير حقيقي للمعادلة $z^3 = 1$. ولتكن $a_1، a_2، \dots، a_n$ أعدادًا حقيقية بحيث:

1a1+ω+1a2+ω+⋯+1an+ω=X+5i\frac{1}{a_1 + \omega} + \frac{1}{a_2 + \omega} + \dots + \frac{1}{a_n + \omega} = X + 5i

مواضيع ذات صلة

نريد حساب:

2a1−1a12−a1+1+2a2−1a22−a2+1+⋯+2an−1an2−an+1\frac{2a_1 – 1}{a_1^2 – a_1 + 1} + \frac{2a_2 – 1}{a_2^2 – a_2 + 1} + \dots + \frac{2a_n – 1}{a_n^2 – a_n + 1}

حل المسألة:
للبداية، دعونا نلاحظ أننا يمكننا تحليل التعبير المطلوب إلى جزئين:

  1. جزء حقيقي.
  2. جزء موهومي.

لحساب الجزء الحقيقي، نقوم بتفكيك الكسور الموجودة في المعادلة الأولى، ونرى كيف يتحرك كل جزء.

فلنبدأ:
1a1+ω=1a1+ω⋅a1+ω‾a1+ω‾=a1+ω‾(a1+ω)(a1+ω‾)=a1+ω‾a12+a1ω‾+ωa1+ωω‾\frac{1}{a_1 + \omega} = \frac{1}{a_1 + \omega} \cdot \frac{a_1 + \overline{\omega}}{a_1 + \overline{\omega}} = \frac{a_1 + \overline{\omega}}{(a_1 + \omega)(a_1 + \overline{\omega})} = \frac{a_1 + \overline{\omega}}{a_1^2 + a_1\overline{\omega} + \omega a_1 + \omega \overline{\omega}}
حيث $\overline{\omega}$ هو القيمة المرافقة لـ $\omega$.
ونعلم أن $\omega \overline{\omega} = |\omega|^2 = 1$ و $\omega + \overline{\omega} = -1$ (من المعادلة الأصلية $z^3 = 1$).

ومن ثم:
1a1+ω=a1+ω‾a12−a1+1.\frac{1}{a_1 + \omega} = \frac{a_1 + \overline{\omega}}{a_1^2 – a_1 + 1}.

بنفس الطريقة، يمكننا تفكيك الكسور الأخرى للحصول على:

1a2+ω=a2+ω‾a22−a2+1,\frac{1}{a_2 + \omega} = \frac{a_2 + \overline{\omega}}{a_2^2 – a_2 + 1},
⋮\vdots
1an+ω=an+ω‾an2−an+1.\frac{1}{a_n + \omega} = \frac{a_n + \overline{\omega}}{a_n^2 – a_n + 1}.

الآن، يمكننا استبدال هذه القيم في المعادلة الأصلية، ونجمع الجزء الحقيقي فقط:

a1+ω‾a12−a1+1+a2+ω‾a22−a2+1+⋯+an+ω‾an2−an+1=X \frac{a_1 + \overline{\omega}}{a_1^2 – a_1 + 1} + \frac{a_2 + \overline{\omega}}{a_2^2 – a_2 + 1} + \dots + \frac{a_n + \overline{\omega}}{a_n^2 – a_n + 1} = X

ومن هذا نستنتج أن:
X=a1+ω‾a12−a1+1+a2+ω‾a22−a2+1+⋯+an+ω‾an2−an+1X = \frac{a_1 + \overline{\omega}}{a_1^2 – a_1 + 1} + \frac{a_2 + \overline{\omega}}{a_2^2 – a_2 + 1} + \dots + \frac{a_n + \overline{\omega}}{a_n^2 – a_n + 1}

الآن، لحساب الجزء الخيالي، نعلم أن الجزء الخيالي في المعادلة الأولى هو $5i$. يجب أن نفهم كيف يترتب عليه هذا الجزء.

ستكون القيمة الخيالية في كل كسر هي $Im(\frac{1}{a_k + \omega}) = \frac{Im(1)}{a_k + \omega} = \frac{1}{a_k + \omega}$.

إذن، يكون الجزء الخيالي للمعادلة الأولى:

1a1+ω+1a2+ω+⋯+1an+ω=1a1+ω+1a2+ω+⋯+1an+ω=5i\frac{1}{a_1 + \omega} + \frac{1}{a_2 + \omega} + \dots + \frac{1}{a_n + \omega} = \frac{1}{a_1 + \omega} + \frac{1}{a_2 + \omega} + \dots + \frac{1}{a_n + \omega} = 5i

وهو الجزء الخيالي من المعادلة.

الآن، عند جمع الجزئين الحقيقي والخيالي، يجب أن يكون الناتج هو $X + 5i$.

ومن المعادلة الأصلية والتي تمثلت بالقيم المحسوبة سابقاً، نجد أن $X$ يجب أن يكون $4$، إذن $X = 4$.

المزيد من المعلومات

لحل المسألة، سنستخدم عدة خطوات وقوانين من الجبر والأعداد الخيالية. سنقوم بتحليل الكسور الموجودة في المعادلة الأولى لفهم كيفية التعامل معها، ومن ثم نقوم بتجميع الأجزاء الحقيقية والخيالية للوصول إلى الحل النهائي.

الخطوات والقوانين المستخدمة:

  1. تمثيل العدد الخيالي $\omega$ كجذر للمعادلة $z^3 = 1$: العدد الخيالي $\omega$ يكون جذرًا للمعادلة $z^3 = 1$، وبالتالي يمثل جذرًا ثالثًا من الوحدة.

  2. استخدام تمثيل العدد الخيالي بصورة مرافقة: عند تمثيل العدد الخيالي $\omega$ بشكل مرافق $\overline{\omega}$، يمكننا استخدام الخصائص الجبرية للأعداد الخيالية للتعامل معها.

  3. تفكيك الكسور الجبرية: باستخدام خواص الكسور، يمكننا تفكيك الكسور الموجودة في المعادلة الأولى إلى جزئين: جزء حقيقي وجزء خيالي.

  4. جمع الأجزاء الحقيقية والخيالية بشكل منفصل: بعد تحليل الكسور والتعبيرات، نقوم بجمع الأجزاء الحقيقية والخيالية منفصلة للحصول على النتيجة النهائية.

  5. استخدام المعلومات المعطاة في المسألة: نستخدم المعلومات المعطاة في المسألة، مثل الناتج المطلوب والمعادلة الأصلية، لحساب القيم المطلوبة.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، نستطيع فهم وحل المسألة بشكل دقيق ودون الحاجة إلى أي تقديم أو معلومات إضافية.

اخر تحديث 29/02/2024
0