مسائل رياضيات

حل مسألة الكسور الجبرية بأقل قيمة (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 30/12/2023
0

لنعد البيانات المعطاة في المسألة: $a,$ $b,$ $c$ هي أعداد حقيقية إيجابية مع شرط $a + b + c = 1.$ نحن نرغب في حساب الحد الأدنى للتالي:
1a+2b+1b+2c+1c+2a.\frac{1}{a + 2b} + \frac{1}{b + 2c} + \frac{1}{c + 2a}.

لنبدأ حلا لهذه المسألة الرياضية.

مواضيع ذات صلة

أولاً، لنلاحظ أن الشرط $a + b + c = 1$ يشير إلى أنه يمكننا استخدام تقنية إعادة التجميع لتجميع الفقرات المتكررة. لنقم بذلك عندما نجمع معاً الكسور المعطاة:
1a+2b+1b+2c+1c+2a.\frac{1}{a + 2b} + \frac{1}{b + 2c} + \frac{1}{c + 2a}.

ثم يمكننا تعويض $a + b + c$ بقيمتها المعطاة وتبسيط الكسور. نحن نحصل على التالي:
1a+2b+1b+2c+1c+2a=1(1+b)+b+1(b+c)+2c+1(2a+c)+a.\frac{1}{a + 2b} + \frac{1}{b + 2c} + \frac{1}{c + 2a} = \frac{1}{(1+b) + b} + \frac{1}{(b+c) + 2c} + \frac{1}{(2a+c) + a}.

الآن نقوم بتبسيط كل كسر على حدة، وذلك باستخدام الشروط المعطاة:
12+2b+12+3c+13+3a.\frac{1}{2+2b} + \frac{1}{2+3c} + \frac{1}{3+3a}.

الخطوة التالية هي محاولة إيجاد صلة بين الأعداد $a,$ $b,$ $c$ في المعادلة الجديدة. لنحاول تحويل الكسور بحيث تظهر الشروط المعطاة بوضوح. نراعي الشرط $a + b + c = 1$ ونقوم بإعادة ترتيب البنود:
12+2b+12+3c+13+3a=12(1+b)+13(1+c)+13(1+a).\frac{1}{2+2b} + \frac{1}{2+3c} + \frac{1}{3+3a} = \frac{1}{2(1+b)} + \frac{1}{3(1+c)} + \frac{1}{3(1+a)}.

هنا نرى أنه يمكننا توحيد الكسور عبر استخدام مضاعف مشترك، وهو $6(1+b)(1+c)(1+a).$ نحصل على:
12(1+b)+13(1+c)+13(1+a)=3(1+c)(1+a)+2(1+b)(1+a)+2(1+b)(1+c)6(1+b)(1+c)(1+a).\frac{1}{2(1+b)} + \frac{1}{3(1+c)} + \frac{1}{3(1+a)} = \frac{3(1+c)(1+a) + 2(1+b)(1+a) + 2(1+b)(1+c)}{6(1+b)(1+c)(1+a)}.

الآن، يمكننا تبسيط العداد في الكسر الكبير:
3(1+c)(1+a)+2(1+b)(1+a)+2(1+b)(1+c).3(1+c)(1+a) + 2(1+b)(1+a) + 2(1+b)(1+c).

نضرب ونوزع:
3(1+2a+c+ac)+2(1+2b+a+ab)+2(1+2c+b+bc).3(1+2a+c+ac) + 2(1+2b+a+ab) + 2(1+2c+b+bc).

نوازن الأعداد ونجمع الأشكال المتشابهة:
3+6a+3c+3ac+2+4b+2a+2ab+2+4c+2b+2bc.3 + 6a + 3c + 3ac + 2 + 4b + 2a + 2ab + 2 + 4c + 2b + 2bc.

نجمع الأعداد القابلة للتجميع:
9+8a+8b+8c+3ac+2ab+2bc.9 + 8a + 8b + 8c + 3ac + 2ab + 2bc.

الآن، نحن بحاجة إلى العودة إلى الكسر الأصلي ونعيد ترتيب الأعداد:
12+2b+12+3c+13+3a=9+8a+8b+8c+3ac+2ab+2bc6(1+b)(1+c)(1+a).\frac{1}{2+2b} + \frac{1}{2+3c} + \frac{1}{3+3a} = \frac{9 + 8a + 8b + 8c + 3ac + 2ab + 2bc}{6(1+b)(1+c)(1+a)}.

نحن الآن قد قللنا المسألة إلى العثور على الحد الأدنى للكسر:
9+8a+8b+8c+3ac+2ab+2bc6(1+b)(1+c)(1+a).\frac{9 + 8a + 8b + 8c + 3ac + 2ab + 2bc}{6(1+b)(1+c)(1+a)}.

الخطوة الأخيرة هي حساب القيمة الدنيا لهذا الكسر. يمكننا توسيع الكسر إلى جزيئين وحسابهما بشكل منفصل. نحصل على:

9+8a+8b+8c+3ac+2ab+2bc6(1+b)(1+c)(1+a)=96(1+b)(1+c)(1+a)+8a+8b+8c+3ac+2ab+2bc6(1+b)(1+c)(1+a).\frac{9 + 8a + 8b + 8c + 3ac + 2ab + 2bc}{6(1+b)(1+c)(1+a)} = \frac{9}{6(1+b)(1+c)(1+a)} + \frac{8a + 8b + 8c + 3ac + 2ab + 2bc}{6(1+b)(1+c)(1+a)}.

نلاحظ أن الجزء الأول من الكسر يمكن تبسيطه إلى:
96(1+b)(1+c)(1+a)=32(1+b)(1+c)(1+a).\frac{9}{6(1+b)(1+c)(1+a)} = \frac{3}{2(1+b)(1+c)(1+a)}.

الآن، نركز

المزيد من المعلومات

لنكمل حلاً مفصلًا لهذه المسألة الرياضية.

بعد أن قمنا بتبسيط الجزء الأول من الكسر إلى
32(1+b)(1+c)(1+a),\frac{3}{2(1+b)(1+c)(1+a)},
سنركز الآن على الجزء الثاني من الكسر:
8a+8b+8c+3ac+2ab+2bc6(1+b)(1+c)(1+a).\frac{8a + 8b + 8c + 3ac + 2ab + 2bc}{6(1+b)(1+c)(1+a)}.

لحساب هذا الكسر، نحن بحاجة إلى استخدام الخواص الأساسية للجبر والعوامل المشتركة. سنقوم بفك ذلك إلى جزيئين لتبسيطه.

أولاً، نجمع الأعداد المتشابهة في العداد:
8a+8b+8c+3ac+2ab+2bc.8a + 8b + 8c + 3ac + 2ab + 2bc.

نستخدم شرط $a + b + c = 1$ لتبسيط العبارة أكثر:
8(a+b+c)+3ac+2ab+2bc.8(a + b + c) + 3ac + 2ab + 2bc.

نوزع الأعداد:
8a+8b+8c+3ac+2ab+2bc=8a+8b+8c+3ac+2ab+2bc.8a + 8b + 8c + 3ac + 2ab + 2bc = 8a + 8b + 8c + 3ac + 2ab + 2bc.

الآن، نقوم بتقديم عامل مشترك لبعض الأعداد:
8(a+b+c)+2ab+2bc+3ac.8(a + b + c) + 2ab + 2bc + 3ac.

نستخدم الشرط $a + b + c = 1$ مرة أخرى:
8(1)+2ab+2bc+3ac=8+2ab+2bc+3ac.8(1) + 2ab + 2bc + 3ac = 8 + 2ab + 2bc + 3ac.

لذا، الجزء الثاني من الكسر يمكن تبسيطه إلى:
8+2ab+2bc+3ac6(1+b)(1+c)(1+a).\frac{8 + 2ab + 2bc + 3ac}{6(1+b)(1+c)(1+a)}.

الآن، نقوم بجمع الجزء الأول والجزء الثاني للكسر الأصلي:
32(1+b)(1+c)(1+a)+8+2ab+2bc+3ac6(1+b)(1+c)(1+a).\frac{3}{2(1+b)(1+c)(1+a)} + \frac{8 + 2ab + 2bc + 3ac}{6(1+b)(1+c)(1+a)}.

الآن، نقوم بجمع الكسرين معًا. لتسهيل العملية، يمكننا إيجاد مشترك بسيط للمقام:
2(1+b)(1+c)(1+a).2(1+b)(1+c)(1+a).

نحسب الجمع كالتالي:
32(1+b)(1+c)(1+a)+8+2ab+2bc+3ac6(1+b)(1+c)(1+a)=3+4+2ab+2bc+3ac2(1+b)(1+c)(1+a).\frac{3}{2(1+b)(1+c)(1+a)} + \frac{8 + 2ab + 2bc + 3ac}{6(1+b)(1+c)(1+a)} = \frac{3 + 4 + 2ab + 2bc + 3ac}{2(1+b)(1+c)(1+a)}.

نجمع الأعداد:
7+2ab+2bc+3ac2(1+b)(1+c)(1+a).\frac{7 + 2ab + 2bc + 3ac}{2(1+b)(1+c)(1+a)}.

هذا هو الشكل النهائي للكسر بعد التبسيط. الآن، نحن بحاجة إلى العودة إلى الهدف الأصلي، وهو الحد الأدنى للكسر:
12+2b+12+3c+13+3a=7+2ab+2bc+3ac2(1+b)(1+c)(1+a).\frac{1}{2+2b} + \frac{1}{2+3c} + \frac{1}{3+3a} = \frac{7 + 2ab + 2bc + 3ac}{2(1+b)(1+c)(1+a)}.

لحساب الحد الأدنى، نحتاج إلى الحد الأدنى للعداد في العداد والحد الأعظمي للمقام. يمكننا أن نلاحظ أن العداد $7 + 2ab + 2bc + 3ac$ لا يمكن أن يصل إلى الصفر، لذلك الحد الأدنى للعداد هو $7.$

بالنسبة للمقام، يمكن أن تكون أقل قيمة للمقام هي $2,$ حيث يكون $1+b,$ $1+c,$ و$1+a$ هما جميعهما يساويان $1,$ وأعظم قيمة للمقام هي $2(1+b)(1+c)(1+a).$

إذاً، الحد الأدنى للكسر هو:
72.\frac{7}{2}.

هذا هو الحل النهائي لهذه المسألة الرياضية، حيث تم استخدام الخواص الأساسية للجبر مثل تبسيط الكسور والعوامل المشتركة للوصول إلى الحل النهائي.

اخر تحديث 30/12/2023
0