حل مسألة الكرات المتلامسة الهندسية

نتعامل مع كرتين كرويتين تلامسان على الأرض، حيث يكون لإحداهما نصف قطر يبلغ 9 سم، ونقطة التلامس بينهما عند ارتفاع 10 سم فوق الأرض. السؤال ينص على معرفة نصف قطر الكرة الثانية.

للإجابة على هذا السؤال، يمكننا استخدام خاصية التماثل في المثلثات المتشابهة. يتشابه المثلث الذي تكونه نقاط التلامس للكرتين مع المثلث الذي تكونه نصف القطرات المتجاورة والخط الرأسي الواقع بين نقاط التلامس.

لنجد النصف قطر الكرة الثانية، سنقوم بتكوين معادلة. نعلم أن نصف القطر الكلي للكرة الأولى هو مجرد جمع نصف القطر المعروف بارتفاع النقطة التلامس بين الكرتين. إذاً:

نصف قطر الكرة الثانية = (نصف القطر الكلي للكرة الأولى) – (نصف القطر المعروف بارتفاع نقطة التلامس)

نعوض بالقيم المعطاة:
نصف قطر الكرة الثانية = (9 سم) – (10 سم) = -1 سم

القيمة الناتجة هي -1 سم، ولكن لا يمكن أن يكون النصف قطر لكرة بقيمة سالبة. إذاً، يجب علينا إعادة التحقق من البيانات المعطاة أو إذا كان هناك خطأ في الصياغة.

في حل هذه المسألة، سنقوم باستخدام قاعدة تماثل المثلثات وبعض الأفكار الهندسية للوصول إلى الإجابة. دعونا نركز على الخطوات والقوانين المستخدمة.

1. قاعدة تماثل المثلثات:

   • إذا كانت لدينا مثلثين متشابهين، فنسب طول أضلاعهما متساوية. في هذه المسألة، سنستخدم هذه القاعدة للمثلثين الذين يتكونون من نقاط التلامس ومركز الكرة.

2. أفكار هندسية:

   • لأن الكرتين تتلامسان، فإن المستوى الذي يحتوي على نقط التلامس ومركز الكرة يمثل مستوى تماثل بين الكرتين.
   • يمكننا استخدام هذا المستوى لبناء مثلثين متشابهين.

الآن لنقم بتوضيح الحل:

نمثل مركز الكرتين بنقاط $A$ و $B$، ونمثل نقاط التلامس بنقاط $C$ و $D$. الخط الرأسي بين نقاط التلامس يمثل ارتفاع نقطة التلامس فوق الأرض.

نعلم أن نقاط التلامس ومركز الكرة يكونون على نفس المستوى. لذلك، نقوم برسم خطين أفقيين من $A$ و $B$ يمران عبر نقاط التلامس $C$ و $D$. يكون هذا المستوى محور التماثل.

نكون لنا مثلثين متشابهين:

• المثلث $ABC$ مع المثلث $ABD$.
• الطول $AC$ يمثل نصف قطر الكرة الأولى (9 سم).
• الطول $BD$ يمثل نصف قطر الكرة الثانية (الذي نريد حسابه).

إذاً، نقدر طول $AD$ بجمع نصف قطر الكرة الأولى مع ارتفاع نقطة التلامس:

$AD = AC + CD = 9 \, \text{سم} + 10 \, \text{سم} = 19 \, \text{سم}$

الآن، نستخدم قاعدة تماثل المثلثات:

$\frac{AC}{BD} = \frac{AD}{AB}$

نعوض القيم:

$\frac{9}{BD} = \frac{19}{AB}$

ونحسب قيمة $BD$ بالتبسيط:

$BD = \frac{9 \times AB}{19}$

الآن، نحتاج إلى معلومة إضافية عن الكرة الأخرى أو عن العلاقة بين قطري الكرتين للحصول على القيمة النهائية لنصف قطر الكرة الثانية. في حالة السؤال كما ورد، لا يمكننا الوصول إلى الإجابة النهائية.