حل مسألة الكتَّاب والمحرِّرين بأقصى كفاءة

في مؤتمر الصحف، يحضر 100 شخص، حيث 45 منهم كتَّاب، وأكثر من 36 منهم محرّرون. من بين الحضور، يكون عدد الأشخاص الذين هم في الوقت نفسه كتَّاب ومحرّرون هو “x”، وعدد الأشخاص الذين لا ينتمون إلى أيٍ منهما هو “2x”. ما هو أكبر عدد ممكن للأشخاص الذين هم في الوقت نفسه كتَّاب ومحرّرون؟

لنقم بتحديد العلاقات بين الفئات المختلفة:

• عدد الكتَّاب = 45
• عدد المحرِّرين > 36
• عدد الحاضرين في المؤتمر = 100
• عدد الأشخاص الذين ينتمون إلى الفئتين (كتَّاب ومحرّرون) = x
• عدد الأشخاص الذين لا ينتمون إلى أي منهما = 2x

لحل المشكلة، نستخدم مفهوم الاتحاد والاشتراك. إذا كنا نتحدث عن العدد الإجمالي للكتَّاب والمحرِّرين، يمكننا استخدام القاعدة التالية:
$\text{عدد الكتَّاب} + \text{عدد المحرِّرين} – \text{عدد الأشخاص اللذين ينتمون إلى كلا الفئتين (x)} = \text{عدد الحاضرين في المؤتمر}$

$45 + \text{عدد المحرِّرين} – x = 100$

الآن، لدينا علاقة أخرى بين الأشخاص الذين لا ينتمون إلى أيٍ من الفئتين والذين يعبرون عنهم بـ “2x”:
$\text{عدد الأشخاص الذين لا ينتمون إلى أيٍ منهما (2x)} = \text{عدد الحاضرين في المؤتمر} – \text{عدد الكتَّاب} – \text{عدد المحرِّرين}$

$2x = 100 – 45 – \text{عدد المحرِّرين}$

الآن، لدينا نظامًا من المعادلات يمكن حله للعثور على قيمة “x”. إذا كنا نرغب في معرفة أكبر قيمة ممكنة للأشخاص الذين هم في الوقت نفسه كتَّاب ومحرِّرون، فيجب أن نجعل قيمة “عدد المحرِّرين” تكون أصغر قيمة ممكنة. لذا، سنضع “عدد المحرِّرين” كـ 37 (أصغر قيمة ممكنة أكبر من 36).

حل المعادلات:
$45 + 37 – x = 100$
$x = 82$

إذاً، القيمة الأكبر لعدد الأشخاص الذين هم في الوقت نفسه كتَّاب ومحرِّرون هي 82.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهومات الرياضيات الثنائية والعلاقات بين المجموعات. سنستخدم القوانين الرياضية الأساسية مثل قانون الاتحاد والاشتراك، ونعتمد على المفهوم الأساسي للأعداد الصحيحة.

لنبدأ بتعريف بعض المتغيرات:

• $A$ هو مجموعة الكتَّاب.
• $B$ هو مجموعة المحرِّرين.
• $x$ هو عدد الأشخاص الذين هم في الوقت نفسه كتَّاب ومحرِّرون.
• $2x$ هو عدد الأشخاص الذين لا ينتمون إلى أيٍ من الفئتين.
• $U$ هو المجموعة الكلية للحاضرين في المؤتمر (عددهم 100).

القوانين المستخدمة:

1. قانون الاتحاد والاشتراك:
   $n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B)$
   حيث $n(A \cup B)$ هو عدد الأفراد الذين ينتمون إلى مجموعة $A$ أو $B$ أو كلاهما.

2. مفهوم الفرق بين الحاضرين والذين لا ينتمون إلى أيٍ من الفئتين:
   $n(U) = n(A) + n(B) – n(A \cap B) + n(\text{الذين لا ينتمون إلى أيٍ منهما})$

الآن دعونا نقوم بتحليل المسألة:

1. استخدام قانون الاتحاد والاشتراك:
   $100 = 45 + n(B) – x$
   حيث أن $n(A)$ هو عدد الكتَّاب وهو يساوي 45.

2. استخدام مفهوم الفرق بين الحاضرين والذين لا ينتمون إلى أيٍ من الفئتين:
   $2x = 100 – 45 – n(B)$

لحساب أكبر قيمة ممكنة لـ $x$، نحاول تقليل قيمة $n(B)$ قدر الإمكان. نفترض أن $n(B) = 37$ (أقل قيمة ممكنة تزيد عن 36)، ثم نحسب قيمة $x$:

$100 = 45 + 37 – x$
$x = 82$

إذاً، القيمة الأكبر لعدد الأشخاص الذين هم في الوقت نفسه كتَّاب ومحرِّرون هي 82.

تم استخدام هذه القوانين والمفاهيم لفهم العلاقات بين المجموعات وحساب القيم بطريقة رياضية دقيقة.