لنفترض أن $a$, $b$, $c$, و $d$ هي أربعة أعداد حقيقية متغيرة، حيث $|a-b|=2$, $|b-c|=3$, و $|c-d|=4$. نحتاج إلى إيجاد مجموع جميع القيم الممكنة للتعبير $|a-d|$.
لنقم بفحص الشروط المعطاة:
- $|a-b|=2$: هذا يعني أن فارق القيم بين $a$ و $b$ يساوي 2.
- $|b-c|=3$: يعني أن فارق القيم بين $b$ و $c$ يساوي 3.
- $|c-d|=4$: يعني أن فارق القيم بين $c$ و $d$ يساوي 4.
لحل المسألة، يمكننا النظر في جميع الحالات الممكنة للترتيب النسبي لهذه الأعداد.
في البداية، دعونا نلاحظ أن القيم الممكنة للفروق بين الأعداد هي 2، 3، و 4. وهذا يعني أن الفرق بين أي من الأعداد المتتالية في القائمة يتغير بشكل تصاعدي.
لنقم بالتفكير في كيفية وضع الأعداد في الخط الزمني للأعداد الحقيقية. إذا قمنا بوضع الأعداد بشكل متتالي، فإن القيم الممكنة للفروق بين الأعداد ستكون 2، 3، و 4.
ومن ثم، يمكننا إيجاد جميع القيم الممكنة لـ $|a-d|$ بإجمالي هذه الفروقات. لنقم بذلك:
الفرق بين $a$ و $d$ يمكن أن يكون مجموع الفروقات بين $a$ و $b$، وبين $b$ و $c$، وبين $c$ و $d$. لذا:
ونستبدل القيم المعطاة بالفروقات المحسوبة:
إذاً، المجموع الإجمالي لجميع القيم الممكنة لـ $|a-d|$ هو 9.
أجمالا، الجواب هو 9.
المزيد من المعلومات
لحل المسألة، سنستخدم القوانين التالية:
- خاصية القيم المطلقة: تنطبق في هذه المسألة حيث يجب أن يكون الفرق بين الأعداد دائمًا موجبًا.
- خاصية التجميع للقيم المطلقة: يمكننا جمع القيم المطلقة للفروق بين الأعداد للحصول على الفرق الكلي بين القيم الأولية.
الآن، دعونا نبدأ في حل المسألة بالتفصيل:
معطيات المسألة هي:
- $|a – b| = 2$
- $|b – c| = 3$
- $|c – d| = 4$
لحساب $|a – d|$, نحتاج إلى حساب قيم كل الفروق بين الأعداد.
نبدأ بالقيمة الأولى: $|a – b| = 2$
هناك حالتين:
- $a – b = 2$
- $b – a = 2$
لكن بما أننا نعرف أن الفروق بين الأعداد يجب أن تكون إيجابية، فإننا نستبعد الحالة الثانية.
الآن، $|b – c| = 3$
هناك حالتين:
- $b – c = 3$
- $c – b = 3$
ونستبعد الحالة الثانية.
أخيرًا، $|c – d| = 4$
هناك حالتين:
- $c – d = 4$
- $d – c = 4$
ونستبعد الحالة الثانية.
الآن، لحساب $|a – d|$, نجمع الفروقات:
وبالتالي، الجواب هو 9.
باستخدام القوانين المذكورة وتحليل كل الحالات الممكنة، وصلنا إلى الجواب بطريقة دقيقة وشاملة.