مسائل رياضيات

حل مسألة القوى بالجبر (مسألة رياضيات)

قيمة التعبير التالي: 993+3(992)+3(99)+199^3 + 3(99^2) + 3(99) + 1 هي:

لنقم بتحليل التعبير لنفهمه بشكل أفضل. هذا التعبير يشبه تعبير ثلاثي الحدود (trinomial) مرتب بشكل خاص، حيث يمكن تطبيق قاعدة التكعيب العجيب على (a+b)3(a + b)^3، حيث a=99a = 99 و b=1b = 1. هذه القاعدة تأتي بالتالي:

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

باستخدام القاعدة المذكورة، نجد أن التعبير الذي قُدِّم يمكن تعبيره كما يلي:

(99+1)3=993+3(9921)+3(9912)+13(99 + 1)^3 = 99^3 + 3(99^2 \cdot 1) + 3(99 \cdot 1^2) + 1^3

الآن، يمكننا بسهولة التعبير عن كل هذه القيم:

(99+1)3=993+3(992)+3(99)+1(99 + 1)^3 = 99^3 + 3(99^2) + 3(99) + 1

وهذا يوضح لنا أن قيمة التعبير المعطى هي ببساطة ناتج تكعيب مجموع 99+199 + 1، أي 100100. لذا، القيمة المطلوبة هي 1003=1000000100^3 = 1000000.

وهكذا، قيمة التعبير 993+3(992)+3(99)+199^3 + 3(99^2) + 3(99) + 1 تساوي 10000001000000.

المزيد من المعلومات

لحل مسألة 993+3(992)+3(99)+199^3 + 3(99^2) + 3(99) + 1، نستخدم قاعدة تكعيب مجموع (Binomial Cube) وقاعدة تكعيب ثلاثي (Trinomial Cube) والتي تندرج تحت مفهوم القوى في الجبر.

  1. قاعدة تكعيب مجموع (Binomial Cube):
    إذا كان لدينا (a+b)3(a + b)^3، فإن القاعدة تعطينا الناتج التالي:

    (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

    حيث يُمثّل aa وbb الأعداد المراد تكعيبها.

  2. قاعدة تكعيب ثلاثي (Trinomial Cube):
    في هذه المسألة، نملك تعبيرًا مرتبًا على شكل ثلاثي:

    a3+3a2b+3ab2+b3a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

    حيث a=99a = 99 و b=1b = 1.

الآن، سنستخدم هذه القوانين لحل المسألة:

  1. استخدام قاعدة تكعيب مجموع (Binomial Cube):
    نستخدم قاعدة تكعيب مجموع لتوسيع التعبير (99+1)3(99 + 1)^3، حيث a=99a = 99 و b=1b = 1. يتبع الناتج:

    (99+1)3=993+3(9921)+3(9912)+13(99 + 1)^3 = 99^3 + 3(99^2 \cdot 1) + 3(99 \cdot 1^2) + 1^3
  2. تبسيط الناتج:
    بعد التبسيط، نحصل على:

    993+3(992)+3(99)+199^3 + 3(99^2) + 3(99) + 1
  3. القيمة النهائية:
    نلاحظ أن (99+1)3=1003(99 + 1)^3 = 100^3، وبالتالي، القيمة المطلوبة هي 1003100^3، والتي تساوي 10000001000000.

باستخدام هذه القوانين، نستطيع حساب قيمة التعبير بسهولة ودقة. تلك هي الطريقة التي تم فيها حل المسألة باستخدام الجبر والقوانين الرياضية المتعلقة بالتكعيب والثنائيات.