حل مسألة القطر في المتوازي الرباعي (مسألة رياضيات)

في المتوازي الرباعي ABCD، طول الضلعين AB وBC هو 10، وطول الضلعين CD وDA هو 17، وزاوية ADC تقيس 60 درجة. ما هو طول القطر AC؟

لحل هذه المسألة، سنستخدم قانون الجيوب في المثلث ADC لحساب زاوية BCD. ثم سنستخدم قانون الجيوب مرة أخرى في المثلث BCD لحساب الضلع AC.

للبدء، لنحسب قيمة زاوية BCD باستخدام قانون الجيوب في المثلث ADC:

$\text{sin}(60^\circ) = \frac{\text{opposite side (BC)}}{\text{hypotenuse (AC)}}$

$\text{sin}(60^\circ) = \frac{BC}{AC}$

نعرف أن قياس زاوية 60 درجة يقابلها جذر 3 على 2 (أو 0.866)، لذا:

$0.866 = \frac{10}{AC}$

$AC = \frac{10}{0.866}$

$AC ≈ \frac{10 \times 2}{\sqrt{3}}$

$AC ≈ \frac{20}{\sqrt{3}}$

الآن، لنحسب قيمة AC. نستخدم المضاعف المشترك الأقل (L.C.M) للجذر 3 و 3 لتجنب تحويل الجذور إلى أشكال أكثر تعقيدًا:

$AC ≈ \frac{20 \times \sqrt{3}}{3}$

$AC ≈ \frac{20\sqrt{3}}{3}$

وهذا هو الجواب النهائي لطول القطر AC.

لحل هذه المسألة، سنحتاج إلى استخدام مفاهيم هندسية أساسية وقوانين الجيومتريا، بما في ذلك قانون الجيوب وقوانين المثلثات. الهدف هو حساب طول القطر AC في المتوازي الرباعي ABCD.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. قانون الجيوب (Sine Law): ينص على أن نسب الأضلاع لجيوب زوايا مثلث متناسبة. يُستخدم في حساب الأضلاع أو الزوايا في المثلثات.

2. قانون الجيوب (Cosine Law): يستخدم لحساب أضلاع المثلثات عن طريق معرفة الزوايا والأضلاع الأخرى.

الآن، سنقوم بحل المسألة:

من المعطيات، لدينا:

• AB = BC = 10 و CD = DA = 17.
• زاوية ADC تساوي 60 درجة.

أولاً، سنحسب قيمة زاوية BCD باستخدام قانون الجيوب في المثلث ADC.

نستخدم قانون الجيوب كالتالي:

$\text{sin}(60^\circ) = \frac{\text{الضلع المقابل (BC)}}{\text{المقابل للمتناهية (AC)}}$

من هنا، نحصل على:

$\text{sin}(60^\circ) = \frac{BC}{AC}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10}{AC}$

$AC = \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$AC = \frac{10 \times 2}{\sqrt{3}}$

$AC = \frac{20}{\sqrt{3}}$

ثم، نقوم بتبسيط الجذر الذي يوجد في المقام:

$AC = \frac{20\sqrt{3}}{3}$

وهذا هو طول القطر AC.

باختصار، قمنا باستخدام قانون الجيوب في المثلث ADC لحساب قيمة زاوية BCD، ثم استخدمنا نفس القانون مرة أخرى لحساب القطر AC باستخدام الزاوية والضلع المقابل في المثلث BCD.