حل مسألة: القطاعات المتوازية والميل (مسألة رياضيات)

إذا كان القطاع AB متوازياً للقطاع XY على المستوى الكارتيزي، فما هي قيمة k في النقاط المجمعة A(-4,0)، B(0,-4)، X(0,8)، وY(14,k)؟

الحل:

نعلم أن القطاع AB متوازياً للقطاع XY، وبما أن AB متوازياً لـ XY، فإن ميل القطاع AB يساوي ميل القطاع XY.

لحساب الميل، نستخدم الصيغة:

$ميل = \frac{{\text{الارتفاع}}}{{\text{الأساس}}}$

نقوم بحساب ميل القطاع XY:

$ميل_{XY} = \frac{{\text{تغيّر القيمة الصغرى}}}{{\text{تغيّر القيمة الكبرى}}} = \frac{{k – 8}}{{14 – 0}}$

ونعلم أن ميل القطاع AB متساويًا لميل القطاع XY. لذا:

$ميل_{AB} = \frac{{-4 – 0}}{{0 – (-4)}} = \frac{{-4}}{{4}} = -1$

الآن، نعادل الميلين ونحصل على المعادلة:

$-1 = \frac{{k – 8}}{{14}}$

نضرب الجانبين في 14 للتخلص من المقام في الجهة اليمنى:

$-14 = k – 8$

نضيف 8 إلى كل جانب:

$k = -14 + 8$

$k = -6$

إذاً، قيمة k تساوي -6.

لحل المسألة، نستخدم الخصائص الهندسية والجبرية للقطاعات المتوازية في النصف السفلي من المستوى الكارتيزي.

1. ميل القطاع:
   ميل القطاع هو نسبة التغيير في القيمة الصغرى إلى التغيير في القيمة الكبرى بين نقطتين. يمكننا استخدام هذا الميل لمعرفة كيفية توجيه القطاع.

2. القطاعات المتوازية:
   عندما تكون القطاعات متوازية، فإنها تتشابه في الشكل وتكون لها نفس الميل.

الآن، دعنا نطبق هذه القوانين على المسألة:

أولاً، نستخدم ميل القطاع XY:
$ميل_{XY} = \frac{{k – 8}}{{14 – 0}}$

ثانياً، نستخدم ميل القطاع AB:
$ميل_{AB} = \frac{{-4 – 0}}{{0 – (-4)}}$

ثم، نعادل الميلين لأنهما متساويان نظراً لأن القطاعين متوازيين:
$ميل_{AB} = ميل_{XY}$

وبما أننا تعرفنا على قيمة ميل القطاع AB وميل القطاع XY، نستطيع تحديد قيمة k بمعادلة:
$-1 = \frac{{k – 8}}{{14}}$

نقوم بحل المعادلة لتحديد قيمة k:
$-14 = k – 8$
$k = -14 + 8$
$k = -6$

لذا، قيمة k تساوي -6.

تمثل هذه القوانين الأساسية للهندسة والجبر المستخدمة في حل المسألة. من خلال فهم هذه القوانين، يمكننا تطبيقها لحل مجموعة متنوعة من المسائل الهندسية والرياضية على الخرائط الكارتيزية.