حل مسألة القطار والنفق بالرياضيات

طول القطار هو 700 متر، ويسير بسرعة 78 كيلومترًا في الساعة. إذا عبر القطار نفقًا في دقيقة واحدة، فما هو طول النفق؟

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام العلاقة بين المسافة والسرعة والزمن. السرعة يمكن تحويلها إلى متر في الثانية عن طريق ضرب السرعة بعامل التحويل المناسب.

نبدأ بتحويل سرعة القطار إلى متر في الثانية:
$78 \, \text{كم/س} = 78 \times \frac{1000}{3600} \, \text{م/ث}$

الآن نستخدم العلاقة بين المسافة والسرعة والزمن:
$\text{مسافة} = \text{سرعة} \times \text{زمن}$

نعلم أن الزمن هو دقيقة واحدة (أي 60 ثانية). لنجد المسافة التي قطعها القطار في هذا الزمن:
$\text{مسافة} = \text{سرعة} \times \text{زمن}$
$\text{مسافة} = 78 \times \frac{1000}{3600} \times 60$

المسافة هي مجموع طول القطار وطول النفق:
$\text{مسافة} = \text{طول القطار} + \text{طول النفق}$

ونعلم أن طول القطار هو 700 متر، لذا يمكننا حل المعادلة للعثور على طول النفق:
$78 \times \frac{1000}{3600} \times 60 = 700 + \text{طول النفق}$

الآن، نقوم بحساب القيمة النهائية لطول النفق.

لحل هذه المسألة، سنعتمد على عدة مفاهيم وقوانين رياضية. أولاً، نحتاج إلى تحويل وحدة السرعة من كيلومتر في الساعة إلى متر في الثانية، حيث أن الزمن معطى في دقيقة ونحتاج إلى السرعة بناءً على هذه الوحدة.

$\text{قانون التحويل: } \text{سرعة (متر/ثانية)} = \text{سرعة (كيلومتر/ساعة)} \times \frac{1000}{3600}$

ثم نستخدم العلاقة بين المسافة والسرعة والزمن:

$\text{قانون المسافة: } \text{مسافة} = \text{سرعة} \times \text{زمن}$

في هذه المسألة:

$\text{مسافة} = \text{سرعة القطار} \times \text{زمن العبور}$

ونعلم أن الزمن معطى بالدقائق، لذا يجب تحويله إلى ثواني:

$\text{قانون التحويل: } \text{زمن (ثانية)} = \text{زمن (دقيقة)} \times 60$

ثم نستخدم العلاقة بين المسافة وطول القطار وطول النفق:

$\text{قانون المسافة: } \text{مسافة} = \text{طول القطار} + \text{طول النفق}$

الآن، نستخدم هذه القوانين في الحسابات:

1. تحويل وحدة السرعة:
   $\text{سرعة (متر/ثانية)} = 78 \times \frac{1000}{3600}$

2. تحويل وحدة الزمن:
   $\text{زمن (ثانية)} = 1 \times 60$

3. حساب المسافة:
   $\text{مسافة} = \text{سرعة (متر/ثانية)} \times \text{زمن (ثانية)}$

4. حساب طول النفق:
   $\text{طول النفق} = \text{مسافة} – \text{طول القطار}$

بهذا، نكون قد استخدمنا مجموعة من القوانين الرياضية لتحويل الوحدات وحساب المسافة والطول المطلوب.