حل مسألة القطار والرجل (مسألة رياضيات)

قطار بطول 150 مترًا يسير بسرعة 68 كيلومترًا في الساعة. كم يستغرق لتجاوز رجل يجري بسرعة 8 كيلومترات في الساعة في نفس اتجاه القطار؟

لحساب الوقت الذي يحتاجه القطار لتجاوز الرجل، يمكننا استخدام العلاقة التالية:

$\text{السرعة} = \frac{\text{المسافة}}{\text{الزمن}}$

نعلم أن السرعة هي فارق سرعة القطار والرجل، والمسافة هي مجموع طول القطار والرجل، ونريد حساب الزمن.

لنحسب فارق السرعة:
$\text{فارق السرعة} = \text{سرعة القطار} – \text{سرعة الرجل}$

$\text{فارق السرعة} = 68 \, \text{كم/س} – 8 \, \text{كم/س} = 60 \, \text{كم/س}$

الآن، نحسب المسافة الإجمالية:
$\text{المسافة} = \text{طول القطار} + \text{طول الرجل}$

$\text{المسافة} = 150 \, \text{م} + 0 \, \text{م} \, (\text{لأن الرجل لا يتحرك في اتجاه القطار}) = 150 \, \text{م}$

الآن نستخدم العلاقة الأولى لحساب الزمن:
$\text{الزمن} = \frac{\text{المسافة}}{\text{فارق السرعة}}$

$\text{الزمن} = \frac{150 \, \text{م}}{60 \, \text{كم/س}} = \frac{5}{2} \, \text{ثواني}$

إذاً، يستغرق القطار 2.5 ثانية لتجاوز الرجل.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مبدأ الحركة النسبية ونعتمد على العلاقة بين السرعة والمسافة لحساب الزمن اللازم. سنستخدم القوانين التالية:

1. مبدأ الحركة النسبية:
   $\text{سرعة الحركة النسبية} = \text{سرعة الجسم الأسرع} – \text{سرعة الجسم الأبطأ}$

2. العلاقة بين السرعة والمسافة والزمن:
   $\text{السرعة} = \frac{\text{المسافة}}{\text{الزمن}}$

3. المسافة = السرعة × الزمن:
   $\text{المسافة} = \text{السرعة} \times \text{الزمن}$

لنحسب الزمن الذي يحتاجه القطار لتجاوز الرجل:

أولاً، نحسب فارق السرعة بين القطار والرجل:
$\text{فارق السرعة} = \text{سرعة القطار} – \text{سرعة الرجل}$
$\text{فارق السرعة} = 68 \, \text{كم/س} – 8 \, \text{كم/س} = 60 \, \text{كم/س}$

الآن، نحسب الزمن باستخدام العلاقة بين السرعة والمسافة:
$\text{الزمن} = \frac{\text{المسافة}}{\text{فارق السرعة}}$

ونعلم أن المسافة هي مجموع طول القطار والرجل:
$\text{المسافة} = \text{طول القطار} + \text{طول الرجل}$
$\text{المسافة} = 150 \, \text{م} + 0 \, \text{م} \, (\text{لأن الرجل لا يتحرك في اتجاه القطار}) = 150 \, \text{م}$

باستخدام العلاقة بين السرعة والمسافة، نحسب الزمن:
$\text{الزمن} = \frac{\text{المسافة}}{\text{فارق السرعة}}$
$\text{الزمن} = \frac{150 \, \text{م}}{60 \, \text{كم/س}} = \frac{5}{2} \, \text{ثواني}$

تم استخدام مبدأ الحركة النسبية لحساب فارق السرعة، ومن ثم استخدمنا العلاقة بين السرعة والمسافة لحساب الزمن.