حل مسألة القطار والجسر (مسألة رياضيات)

القطار طوله 310 مترًا، ويسير بسرعة 45 كيلومترًا في الساعة. في كم يستغرق ليمر عبر جسر طوله 140 مترًا؟

الحل:

لحساب الزمن الذي يحتاجه القطار ليمر عبر الجسر، يمكننا استخدام العلاقة بين المسافة والسرعة والزمن، والتي تعطى بالصيغة:

$\text{الزمن} = \frac{\text{المسافة}}{\text{السرعة}}$

أولاً، نحول سرعة القطار من كيلومتر في الساعة إلى متر في الثانية، حيث أن 1 كيلومتر يساوي 1000 متر و1 ساعة تحتوي على 3600 ثانية. إذاً:

$\text{السرعة} = \frac{45 \, \text{كم/س}}{3.6} \, \text{م/ث} \approx 12.5 \, \text{م/ث}$

الآن، نستخدم العلاقة لحساب الزمن:

$\text{الزمن} = \frac{\text{المسافة الإجمالية}}{\text{السرعة النسبية}}$

حيث المسافة الإجمالية تكون مجموع طول القطار وطول الجسر:

$\text{المسافة الإجمالية} = 310 \, \text{م} + 140 \, \text{م} = 450 \, \text{م}$

والسرعة النسبية تكون فارق السرعتين:

$\text{السرعة النسبية} = \text{سرعة القطار} – \text{سرعة الجسر}$

حيث سرعة الجسر هي صفر لأنه ثابت. إذاً:

$\text{السرعة النسبية} = 12.5 \, \text{م/ث}$

الآن نستخدم الصيغة لحساب الزمن:

$\text{الزمن} = \frac{450 \, \text{م}}{12.5 \, \text{م/ث}} \approx 36 \, \text{ث}$

إذاً، يحتاج القطار إلى حوالي 36 ثانية ليمر عبر الجسر.

بالطبع، سنقوم بتوضيح تفاصيل أكثر لحل المسألة وذلك باستخدام القوانين الفيزيائية المعمول بها. نبدأ بتحديد المتغيرات المعروفة ونستخدم القانون الأساسي المتعلق بالعلاقة بين المسافة، السرعة، والزمن.

المتغيرات:
$D$ = المسافة الإجمالية (طول القطار + طول الجسر)
$V$ = السرعة النسبية بين القطار والجسر
$T$ = الزمن الذي يحتاجه القطار ليمر عبر الجسر

القانون المستخدم:
$D = V \times T$

نعلم أن:
$D = 450 \, \text{م}$ (المسافة الإجمالية)
$V = 12.5 \, \text{م/ث}$ (السرعة النسبية)

الآن، نقوم بحساب الزمن $T$ باستخدام القانون:
$T = \frac{D}{V}$

قمنا بتحويل سرعة القطار من كيلومتر في الساعة إلى متر في الثانية. هذا التحويل يستند إلى أن 1 كيلومتر يساوي 1000 متر و1 ساعة تحتوي على 3600 ثانية.

الآن، نستخدم القانون لحساب الزمن:
$T = \frac{450 \, \text{م}}{12.5 \, \text{م/ث}} \approx 36 \, \text{ث}$

تمثل هذه الخطوات استخدام القوانين الأساسية للحركة، حيث يتم تحليل الحركة عن طريق تحديد المتغيرات واستخدام العلاقات بينها. يعتمد الحل على قوانين الحركة الأساسية والتحويلات اللازمة للوحدات لضمان التوافق مع الوحدات المستخدمة في المسألة.