حل مسألة القسمة والباقي في الرياضيات (مسألة رياضيات)

عند قسمة أربعة أعداد صحيحة موجبة على $11$، فإن الباقين هم $2$، $4$، $6$، و $8$ على التوالي.

عندما يتم قسم مجموع الأعداد الأربعة على عدد مجهول $X$، فإن الباقي يكون $9$. ما هو قيمة المتغير الغير معروف $X$؟

لنحل المسألة:
فلنعتبر الأعداد الأربعة على التوالي: $a$, $b$, $c$, و $d$.

بما أن الباقي عند قسمة كل عدد على $11$ هو $2$، $4$، $6$، و $8$ على التوالي، فإذاً يمكننا كتابة المعادلات التالية:

نحتاج الآن إلى أن نجمع هذه الأعداد ونرى ما الباقي عند القسمة على $X$:

الآن، لحل هذه المعادلة، لنجمع الأعداد معاً:

الآن نحتاج إلى أن نجمع $20$ مع أربعة أعداد مختلفة موجبة يمكن أن تعطينا باقي قدره $9$ عند القسمة على $X$.

لحسن الحظ، يمكننا القيام بذلك بمجموعات مختلفة. على سبيل المثال، إذا اخترنا $20 + 11 = 31$، فإن الباقي عند القسمة على $X$ سيكون $9$ إذا كان $X = 31$.

لذا، قيمة المتغير $X$ هي $31$.

لحل المسألة المعطاة، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين والمفاهيم في الحساب النمطي ونظرية القسمة ال mod.

القوانين والمفاهيم المستخدمة في الحل تشمل:

1. قاعدة القسمة ال mod: تقول هذه القاعدة إذا كان لدينا عددين $a$ و $b$ وقسمنا $a$ على $b$، فإن الباقي هو الفرق بين $a$ وأقرب مضاعف ل $b$. على سبيل المثال، عندما نقسم $13$ على $5$، فإن الباقي يساوي $3$ لأن أقرب مضاعف لـ $5$ هو $10$ والفرق بين $13$ و $10$ هو $3$.

2. خوارزمية الجمع mod: في هذه المسألة، عندما نقوم بجمع الأعداد ونقسم الناتج على $X$، فإن الباقي هو الفرق بين مجموع الأعداد وأقرب مضاعف لـ $X$.

الآن، دعنا نتفحص الحل بالتفصيل:

1. الشروط الأولية:
   نحن معطين أربعة أعداد صحيحة موجبة يكون لها باقي عند القسمة على $11$ هو $2$، $4$، $6$، و $8$.

2. نقوم بتعريف الأعداد بالتسلسل كالتالي: $a$, $b$, $c$, و $d$.

3. نستخدم الشروط الأولية لكتابة المعادلات اللازمة:

   $$\begin{align*} a &\equiv 2 \pmod{11} \\ b &\equiv 4 \pmod{11} \\ c &\equiv 6 \pmod{11} \\ d &\equiv 8 \pmod{11} \end{align*}$$

4. نقوم بجمع الأعداد ونجد القسمة على $X$:

   $$(a + b + c + d) \equiv 9 \pmod{X}$$

5. نقوم بحساب مجموع الأعداد: $2 + 4 + 6 + 8 = 20$.

6. نحتاج الآن إلى اختيار قيمة مناسبة لـ $X$ حتى يكون باقي الجمع عند القسمة عليها يساوي $9$. ونحصل على ذلك بوضع قيمة $X$ تكون أكبر من الجمع، ولكنها أصغر من الجمع مع أقرب مضاعف لها. لذا نختار $X = 31$.

باختيار $X = 31$، نحصل على:

وبالتالي، الحل النهائي هو أن قيمة المتغير الغير معروف $X$ هي $31$.