حل مسألة القسمة والأعداد: قوانين وتحليل (مسألة رياضيات)

لنعيد صياغة المسألة بطريقة مترجمة:

“لدينا عدد طبيعي معين $n$، حيث يترك باقي قسمة $n^2$ على 5 قيمة 4، ويترك باقي قسمة $n^3$ على 5 قيمة 2. الباقي الذي يتركه $n$ عند القسمة على $X$ هو 3. ما قيمة المتغير $X$؟”

لحل هذه المسألة، سنستخدم الخوارزمية الحسابية والخواص الرياضية المتعلقة بالأعداد الطبيعية والقسمة. نبدأ بتحليل كل خاصية:

1. $n^2$ يترك باقي 4 عند القسمة على 5.
2. $n^3$ يترك باقي 2 عند القسمة على 5.
3. $n$ يترك باقي 3 عند القسمة على $X$.

لفهم كيف يمكننا حساب قيمة $X$، لنلخص بعض الخواص الأساسية:

• لو كان باقي قسمة عدد مرفوع للتربيع على 5 هو 4، فإن العدد نفسه يمكن أن يكون في أحد الأشكال التالية: $5k + 2$ أو $5k + 3$.
• بنفس الطريقة، إذا كان باقي قسمة عدد مرفوع للتكعيب على 5 هو 2، فإن العدد نفسه يمكن أن يكون في أحد الأشكال التالية: $5m + 1$ أو $5m + 4$.

بما أن $n^2$ يترك باقي 4 عند القسمة على 5، و$ n^3 $ يترك باقي 2، فإن $n$ يمكن أن يكون في الشكل $5k + 3$.

والآن، عندما نقسم $n$ على $X$، نحصل على باقي قسمة 3. يجب أن نفكر في الأعداد التي تكون في شكل $5k + 3$ وتترك باقي 3 عند القسمة على $X$.

لكي نفهم الأمر بشكل أفضل، دعنا نقوم بتحليل الأعداد التي تترك باقي 3 عند القسمة على $X$ وتكون في شكل $5k + 3$. مثلاً، 3 تقسم على 3 ببقي 0، لكنها لا تقسم على 5 ببقي 3. 8 تقسم على 3 ببقي 2، لكنها لا تقسم على 5 ببقي 3.

ومن الملاحظ أن أول عدد يقسم على 3 بباقي 3 هو 3 نفسه. وهذا العدد يكون في شكل $5k + 3$. لذا، قيمة $X$ هي 3.

وهذا الحل يتماشى مع شروط المسألة والخواص الرياضية المذكورة أعلاه.

لحل المسألة وتحديد قيمة المتغير $X$ بالتفصيل، يجب أولاً فهم الخواص الرياضية التي تطبق على الأعداد والقسمة. هنا الخطوات والقوانين التي تم استخدامها في الحل:

1. قوانين الباقي عند القسمة:

   • عند قسمة عدد صحيح على عدد آخر، يكون الباقي الناتج هو الفارق بين العدد الأول والعدد المتكرر حتى يصل الفارق إلى أو يتجاوز العدد المتكرر.
   • على سبيل المثال، عند قسمة 7 على 3، الباقي هو 1؛ وعند قسمة 8 على 3، الباقي هو 2؛ وهكذا.

2. خواص الأعداد الطبيعية:

   • الأعداد الطبيعية هي الأعداد الإيجابية غير العشرية (الأعداد الصحيحة الموجبة).

3. قوانين التربيع والتكعيب:

   • لو كان باقي قسمة عدد مرفوع للتربيع على 5 هو 4، فإن العدد نفسه يمكن أن يكون في أحد الأشكال التالية: $5k + 2$ أو $5k + 3$.
   • بنفس الطريقة، إذا كان باقي قسمة عدد مرفوع للتكعيب على 5 هو 2، فإن العدد نفسه يمكن أن يكون في أحد الأشكال التالية: $5m + 1$ أو $5m + 4$.

4. الاستنتاج والتحليل:

   • من المعطيات، نعرف أن $n^2$ يترك باقي 4 عند القسمة على 5، و$n^3$ يترك باقي 2 عند القسمة على 5.
   • إذا كان $n^2$ يترك باقي 4، فإما أن يكون $n$ بشكل $(5k + 2)$ أو $(5k + 3)$.
   • إذا كان $n^3$ يترك باقي 2، فإما أن يكون $n$ بشكل $(5m + 1)$ أو $(5m + 4)$.
   • ومن المعطيات، نعلم أيضًا أن باقي قسمة $n$ على $X$ هو 3.

5. تحليل الأعداد الممكنة:

   • بما أن الباقي عند القسمة على $X$ هو 3، فإن القيم المحتملة لـ $n$ تكون بشكل $(5k + 3)$.
   • يجب أن نبحث عن أول قيمة تترك باقي 3 عند القسمة على $X$، والتي تكون من فئة $(5k + 3)$، وهي 3 نفسها.

6. الإجابة:

   • بالتالي، القيمة المطلوبة للمتغير $X$ هي 3.

باستخدام هذه القوانين والتحليل الدقيق، يمكننا تحديد قيمة المتغير $X$ بدقة وفهم العلاقة بين الأعداد والبواقي في عملية القسمة.