حل مسألة القسمة على 24 (مسألة رياضيات)

عند قسمة ثلاثة أعداد صحيحة إيجابية على 24، يكون باقي القسمة في الترتيب 10، 4، وX على التوالي. نريد معرفة باقي قسمة مجموع تلك الأعداد على 24.

لنفترض أن الأعداد الثلاثة هي $a_1$، $a_2$، و $a_3$ على التوالي. إذا كتبنا العلاقة الرياضية للقسمة، فإننا نحصل على:

$a_1 = 24k_1 + 10$
$a_2 = 24k_2 + 4$
$a_3 = 24k_3 + X$

حيث $k_1$، $k_2$، و $k_3$ هي أعداد صحيحة.

لنحسب مجموع الأعداد:
$a_1 + a_2 + a_3 = (24k_1 + 10) + (24k_2 + 4) + (24k_3 + X)$
$= 24(k_1 + k_2 + k_3) + (10 + 4 + X)$
$= 24(k_1 + k_2 + k_3) + (14 + X)$

الآن نقسم مجموع الأعداد على 24:
$\text{مجموع الأعداد} \mod 24 = (24(k_1 + k_2 + k_3) + (14 + X)) \mod 24$

لكن من المعروف أن مجموع الأعداد يعطي باقيًا 2 عند القسمة على 24. إذاً:
$2 = (24(k_1 + k_2 + k_3) + (14 + X)) \mod 24$

وبما أن باقي القسمة يتحقق، فإننا نعرف أن:
$(14 + X) \mod 24 = 2$

الآن، يتبقى لنا حساب قيمة $X$ التي تحقق هذا الشرط.

$(14 + X) \mod 24 = 2$
$14 + X = 2 + 24n$

حيث $n$ عدد صحيح. نقلل 2 من كلا الجانبين:
$X = 2 + 24n – 14$
$X = 24n – 12$

بما أن $X$ هو عدد صحيح إيجابي (حيث إنه باقي قسمة)، يمكن أن نختار أقل قيمة ممكنة لـ $n$ التي تحقق ذلك. بما أن $X$ يجب أن يكون إيجابيًا وفقًا للشرط، نختار $n = 1$ كقيمة أدنى ممكنة.
$X = 24 \times 1 – 12 = 12$

لذا، قيمة متغير $X$ هي 12.

في هذه المسألة، نستخدم مفهوم باقي القسمة لحلها. باقي القسمة هو العدد الذي يتبقى عند قسم عدد ما على عدد آخر. للعمليات الحسابية مع الأعداد وقوانينها، نحتاج إلى فهم القواعد الأساسية التالية:

1. قانون باقي القسمة: عند قسم عدد صحيح على عدد آخر، يكون الباقي هو العدد الذي يتبقى بعد القسمة.

2. مجموع الأعداد الصحيحة: مجموع مجموعة من الأعداد الصحيحة هو الناتج من جمع جميع تلك الأعداد.

3. العلاقة بين مجموع الأعداد وباقي القسمة: يمكننا تطبيق قانون باقي القسمة على مجموع الأعداد. إذا كنا نعرف باقي قسمة كل عدد على عدد معين، يمكننا استخدام هذه المعرفة لحساب باقي القسمة لمجموع الأعداد.

الآن، دعنا نستخدم هذه القواعد في حل المسألة:

نعلم أنه عندما يتم قسم كل من الأعداد الثلاثة على 24، تكون البواقي على التوالي 10، 4، وX.

من ثم، نكتب هذه العلاقات:

$a_1 = 24k_1 + 10$
$a_2 = 24k_2 + 4$
$a_3 = 24k_3 + X$

حيث $k_1$، $k_2$، و $k_3$ هي أعداد صحيحة.

نريد أن نجد باقي القسمة عند جمع هذه الأعداد. لذلك، نقوم بجمعها:

$a_1 + a_2 + a_3 = (24k_1 + 10) + (24k_2 + 4) + (24k_3 + X)$

$= 24(k_1 + k_2 + k_3) + (10 + 4 + X)$

$= 24(k_1 + k_2 + k_3) + (14 + X)$

نعرف أن مجموع الأعداد عند القسمة على 24 يعطي باقيًا 2. لذلك:

$2 = (24(k_1 + k_2 + k_3) + (14 + X)) \mod 24$

من هنا، نحصل على:

$(14 + X) \mod 24 = 2$

لحل هذه المعادلة، نقوم بتجريب قيم مختلفة لـ $X$ حتى نجد القيمة التي تنتج باقيًا 2 عند القسمة على 24. وبعد التجريب، وجدنا أن $X = 12$.

باستخدام قواعد الحساب وقوانين باقي القسمة، نمكنا من حل المسألة بنجاح وتحديد قيمة المتغير المجهول $X$.