حل مسألة القسمة بالباقي: البحث عن قيمة متغير مجهول (مسألة رياضيات)

العدد الصحيح الأصغر الذي عند قسمته على 5 يُعطي باقيًا قدره 4، وعند قسمته على 6 يُعطي باقيًا قدره 5، وعند قسمته على 8 يُعطي باقيًا قدره 7، وعند قسمته على 9 يُعطي باقيًا قدره 8، وعند قسمته على 10 يُعطي باقيًا قدره 9 هو العدد 2519. ما هو قيمة المتغير المجهول “X” عند قسمته عليها يعطي باقيًا قدره 6؟

لحل هذه المسألة، نستخدم مفهوم باقي القسمة. عندما نقسم العدد على عدد معين، يكون باقي القسمة هو الفرق بين الناتج وأقرب مضاعف للعدد المقسوم الذي يكون أصغر منه.

لذا، لنجد العدد الصحيح الأصغر الذي يحقق شروط المسألة، نقوم بحساب الفروق بين الأعداد وبين أقرب مضاعف للأعداد المقسومة:

1. عدد الذين تبقى باقي قدره 4 عند القسمة على 5: 4
2. عدد الذين تبقى باقي قدره 5 عند القسمة على 6: 5
3. عدد الذين تبقى باقي قدره 6 عند القسمة على X: 6
4. عدد الذين تبقى باقي قدره 7 عند القسمة على 8: 7
5. عدد الذين تبقى باقي قدره 8 عند القسمة على 9: 8
6. عدد الذين تبقى باقي قدره 9 عند القسمة على 10: 9

الآن نقوم بجمع هذه الفروق مع القيمة المعروفة 2519 ونبحث عن العدد المشترك الصغير الذي يحقق الشروط المذكورة:

$4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 2519 = 2558$

العدد 2558 هو العدد الذي يحقق جميع شروط المسألة. لكن يجب أن نتأكد من أنه يُقسم على $X$ بباقي 6. لذا نقوم بحساب باقي القسمة:

$2558 \mod X = 6$

نبحث عن القيمة المناسبة لـ $X$ لتكون باقي القسمة يساوي 6. إذاً:

$2558 – 6 = 2552$

لذا، قيمة المتغير المجهول $X$ هي 2552.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم باقي القسمة ونعتمد على القوانين التي تحكم عمليات القسمة. سنقوم بتحليل كل جزء من المسألة بدقة.

1. عند قسم العدد على 5:
   يعني أن العدد يكون بمضاعف لـ 5 مع باقي قدره 4.
   العدد: $5a + 4$

2. عند قسم العدد على 6:
   يعني أن العدد يكون بمضاعف لـ 6 مع باقي قدره 5.
   العدد: $6b + 5$

3. عند قسم العدد على X:
   يعني أن العدد يكون بمضاعف لـ X مع باقي قدره 6.
   العدد: $Xc + 6$

4. عند قسم العدد على 8:
   يعني أن العدد يكون بمضاعف لـ 8 مع باقي قدره 7.
   العدد: $8d + 7$

5. عند قسم العدد على 9:
   يعني أن العدد يكون بمضاعف لـ 9 مع باقي قدره 8.
   العدد: $9e + 8$

6. عند قسم العدد على 10:
   يعني أن العدد يكون بمضاعف لـ 10 مع باقي قدره 9.
   العدد: $10f + 9$

الآن، نجمع كل هذه الأعداد معًا ونعتبرها تمثيلًا للعدد الناتج عن القسمة:

$5a + 4 + 6b + 5 + Xc + 6 + 8d + 7 + 9e + 8 + 10f + 9 = 2519$

نقوم بتجميع المتغيرات المشابهة ونحسب القيم:

$(5a + 6b + Xc + 8d + 9e + 10f) + (4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 2519$

$5(a + b + d + f) + Xc + 8e = 2508$

الآن نعلم أن $a + b + d + f$ هو عدد صحيح، لذا نقسم الفرق بين 2508 و 8 على $X$ ونطابقها مع الباقي المطلوب:

$Xc + 8e = 2500$

الآن نبحث عن قيمة X التي تحقق باقي القسمة المطلوب، ونستنتج أنه يمكن أن يكون لدينا:

$X = 2552$

لدينا أيضاً القاعدة الرياضية المستخدمة هنا وهي: “إذا كانت $a \equiv b \mod m$ و $c \equiv d \mod m$، فإن $a + c \equiv b + d \mod m$“. هذه القاعدة تساعدنا في تجميع مصفوفة من الأعداد والتحقق من باقي القسمة بشكل فعال.