حل مسألة القسمة باستخدام Euclidean Algorithm (مسألة رياضيات)

العملية التي نقوم بها للعثور على أكبر مشترك للقسمة بين العددين 75 و 360 هي باستخدام خوارزمية أقل من القسمة. يتم ذلك عن طريق تكرار القسمة حتى نصل إلى باقي يكون صفرًا. في كل خطوة، نستخدم الباقي كقسم للعدد السابق، ونستمر في هذه العملية حتى نحصل على باقي يكون صفرًا. العدد الذي كان معه الباقي الأخير هو الإجابة.

لحساب أكبر مشترك للقسمة بين 75 و 360، نقوم بالخطوات التالية:

1. قسم 360 على 75، الباقي هو 15.
2. الآن نأخذ 75 ونضعه في مكان 360، ونضع الباقي 15 في مكان 75.
3. نقوم بالقسمة مرة أخرى، ونحصل على باقي جديد هو 0.
4. يكون العدد السابق الذي كان معه الباقي الأخير هو الإجابة.

إذا كان الباقي الأخير 15، فإن أكبر مشترك للقسمة بين 75 و 360 هو 15.

لحساب أكبر مشترك للقسمة بين 75 و 360، نعتمد على خوارزمية أقل من القسمة (Euclidean Algorithm)، والتي تعتمد على قوانين القسمة والباقي. سنقوم بشرح الخوارزمية بتفصيل أكثر وذكر القوانين المستخدمة:

1. القسمة والباقي:
   نستخدم قاعدة القسمة حيث يمكن كتابة أي عدد صحيح بشكل: $a = bq + r$
   حيث:

   • $a$ هو العدد الكلي (dividend).
   • $b$ هو العدد الذي نقسم عليه (divisor).
   • $q$ هو الناتج الكلي (quotient).
   • $r$ هو الباقي.

2. خوارزمية أقل من القسمة:

   • نقوم بقسم العدد الأكبر على العدد الأصغر.
   • نأخذ الباقي ونقوم بتكرار العملية بتبديل العددين.
   • نستمر في هذه العملية حتى نحصل على باقي يكون صفرًا.
   • العدد الذي كان معه الباقي الأخير هو الإجابة.

التطبيق على المسألة:

1. $360 = 75 \times 4 + 60$ (الباقي 60)
2. الآن نأخذ 75 ونضعه في مكان 360 ونضع الباقي 60 في مكان 75.
3. $75 = 60 \times 1 + 15$ (الباقي 15)
4. نكرر العملية باستخدام 60 و 15.
5. $60 = 15 \times 4 + 0$

إذا كان الباقي الأخير هو 0، فإن الإجابة هي العدد الذي كان معه الباقي الأخير، وهو 15.

قانون القسمة والباقي وقوانين الحساب الأربعة هي القوانين الرئيسية المستخدمة في هذا الحل.