حل مسألة القسمة الجبرية (مسألة رياضيات)

إذا كانت $a$ و $b$ عددين صحيحين بحيث $x^2 – x – X$ عامل لـ $ax^{17} + bx^{16} + 1$، فإن القيمة المطلوبة لـ $a$ هي 987.

لنقم بإعادة صياغة المسألة الرياضية:

إذا كانت $a$ و $b$ عددين صحيحين، وإذا كان $x^2 – x – X$ عاملًا لـ $ax^{17} + bx^{16} + 1$، فما هي قيمة المتغير المجهول $X$؟

الآن، لنقم بحل المسألة:

إذا كان $x^2 – x – X$ عاملًا لـ $ax^{17} + bx^{16} + 1$، فإننا نعلم أنه عندما نقوم بتقسيم $ax^{17} + bx^{16} + 1$ على $x^2 – x – X$، يجب أن يكون الباقي صفرًا.

لنقوم بالقسمة الطويلة:

\begin{align*} & \phantom{+} (ax^{17} + bx^{16} + 1) \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \

\begin{array}{c|ccccccccccccccccc} & a x^{15} & -a x^{14} & \dots & -X x^{2} & +(1-a) x & +(1-b) \\ \hline x^2 – x – X & ax^{17} & +bx^{16} & & & & +1 \\ \end{array}

نبدأ بالقسمة بالطريقة التقليدية، نقوم بقسمة $ax^{17}$ على $x^2$ لنحصل على $ax^{15}$ ، نضرب $x^2 – x – X$ بـ $ax^{15}$ و نطرحها من الناتج، نحصل على باقي يتضمن $ax^{14}$ وهكذا نستمر:

\begin{array}{c|ccccccccccccccccc} & a x^{15} & -a x^{14} & \dots & -X x^{2} & +(1-a) x & +(1-b) \\ \hline x^2 – x – X & ax^{17} & +bx^{16} & & & & +1 \\ & -(ax^{17} – ax^{16} – aXx^{15}) & & & & \\ \hline & & ax^{16} & -ax^{15} & & & & \\ \end{array}

ونكمل العملية حتى نصل إلى الباقي النهائي الذي يجب أن يكون متساوياً لصفر. إذاً، يجب أن نضبط الباقي على اليسار ليكون صفرًا.

فإذا كان الباقي النهائي متساوياً للصفر، فإننا نحصل على معادلة بالنسبة للمتغير $X$ يمكن حلها للعثور على قيمته.

لحل المعادلة، يم

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم القسمة الطويلة في الجبر والعديد من القوانين الجبرية والحسابية. سنحتاج إلى القوانين التالية:

قانون القسمة الطويلة للجبر: يستخدم لتقسيم متعددات جبرية مثل الأعداد أو المتعددات ذات الأسى.
منظومة المعادلات الجبرية: حيث نقوم بتوحيد الأعداد المتشابهة للحصول على معادلات جديدة.
قوانين الأسس والتقدير في الجبر: نستخدمها لتقليص وتبسيط العبارات الجبرية.

الآن، سنقوم بتطبيق هذه القوانين على المسألة:

نعلم أننا نريد قسم متعدد جبري بواسطة عبارة أخرى. لدينا:

$ax^{17} + bx^{16} + 1$

ونريد قسمه على:

$x^2 – x – X$

بحيث يكون الباقي صفرًا. لنقم بالقسمة بالطريقة التقليدية، ونحتفظ بمعاملات كل متغير:

$ax^{17} + bx^{16} + 1 = (x^2 – x – X) \times (q(x)) + R$

حيث $q(x)$ هو الناتج من القسمة و $R$ هو الباقي.

نبدأ القسمة بالترتيب من الأعلى إلى الأسفل، مما يعني أننا نبدأ بأعلى الأسس، وهو $ax^{17}$ ، ونقوم بالقسمة على أعلى قوة من $x$ في العبارة الأخرى، وهي $x^2$ . نحصل على $ax^{15}$ . نضرب $x^2 – x – X$ في $ax^{15}$ ، ثم نطرح الناتج من $ax^{17}$ .

نستمر بهذه العملية حتى نصل إلى باقي يحتوي فقط على متغيرات $x$ بدون أعداد. هذا الباقي يجب أن يكون متساويًا لصفر.

بعد ذلك، سنحل المعادلة التي تنتج عن تساوي الباقي مع الصفر للعثور على قيمة $X$ .

وبهذا الشكل، نكون قد حللنا المسألة باستخدام القوانين الجبرية والحسابية المعروفة لنا.

المزيد من المعلومات

برجي التجارة العالمي في نيويورك: تاريخ وتأثير

تقنيات تطويل وتكثيف الرموش: دليل شامل