حل مسألة القاسم والضرب (مسألة رياضيات)

من المعروف أن لدينا عددين يكون لهما أكبر قاسم مشترك هو 20، وحاصل ضربهما يساوي 2560. نريد العثور على الضرب الأصغر مشترك لهما.

لنكتب العدد الأول بشكل عام كـ $20a$ والعدد الثاني كـ $20b$، حيث $a$ و $b$ هما أعداد صحيحة.

ونعلم أن:
$20a \times 20b = 2560$

لنحسب قيمة $ab$، نقوم بقسمة 2560 على 400 (وهو حاصل ضرب 20 في 20)، الناتج هو 6.

الآن، نحتاج إلى فحص الأعداد التي تكون حاصل ضربها تساوي 6. هذه الأعداد هي (1, 6) أو (-1, -6)، حيث الضرب في كلتا الحالتين يساوي 6.

لنستخدم القيم $a$ و $b$ المحسوبة لنحسب الأعداد الفعلية. إذا كان $a = 1$ و $b = 6$، فإن العددين هما $20 \times 1 = 20$ و $20 \times 6 = 120$، وبالتالي:

$\text{LCM}(20, 120) = 120$

إذاً، القاسم الأكبر لهما هو 20، وحاصل ضربهما يساوي 2560، والضرب الأصغر المشترك لهما هو 120.

لحل هذه المسألة، سنقوم بفحص العلاقة بين القاسم الأكبر المشترك (HCF)، الضرب، والضرب الأصغر المشترك (LCM) للأعداد.

المعطيات:

1. القاسم الأكبر المشترك (HCF) = 20
2. حاصل ضرب العددين = 2560

للعثور على الأعداد الأصلية، سنقوم بتمثيل العددين بشكل عام باستخدام القاسم الأكبر المشترك. فلنكتب العدد الأول بشكل $20a$ والعدد الثاني بشكل $20b$ حيث $a$ و $b$ هما أعداد صحيحة.

المعادلة التي تمثل الحاصل الضرب:
$20a \times 20b = 2560$

نقوم بحساب قيمة $ab$، حيث نقسم 2560 على 400 (وهو ناتج ضرب 20 في 20)، ونحصل على 6.

الآن، نبحث عن الأعداد التي يكون حاصل ضربها يساوي 6. هذه الأعداد هي (1, 6) أو (-1, -6)، حيث الضرب في كلتا الحالتين يساوي 6.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الضرب: لضرب العددين للحصول على الناتج المعطى (2560).
2. قانون القاسم الأكبر المشترك (HCF): لتقسيم الناتج (2560) على القاسم الأكبر المشترك (20).
3. قانون الضرب الأصغر المشترك (LCM): للعثور على الضرب الأصغر المشترك للأعداد بعد حساب قيم $a$ و $b$.

القيم $a$ و $b$ يمكن أن تكون (1, 6) أو (-1, -6)، ونختار القيمة التي تناسب السياق أو الشرط المحدد في المسألة. في هذا السياق، لنفترض $a = 1$ و $b = 6$ للوصول إلى الأعداد الأصلية: 20 و 120.

أخيراً، نستخدم قانون الضرب الأصغر المشترك (LCM) للعثور على الضرب الأصغر المشترك للأعداد 20 و 120:
$\text{LCM}(20, 120) = 120$

هكذا تم حل المسألة باستخدام قوانين الضرب والقاسم الأكبر المشترك والضرب الأصغر المشترك.