حل مسألة الفوائد المركبة والبسيطة (مسألة رياضيات)

جمعت جولي نصف مدخراتها في حساب التوفير الذي يدفع فائدة بسيطة سنوية، والنصف الآخر في حساب التوفير الذي يدفع فائدة مركبة سنوية. بعد مرور عامين، حققت جولي دخلاً بقيمة 120 دولارًا من حساب الفائدة البسيطة و 122 دولارًا من حساب الفائدة المركبة. إذا كانت أسعار الفائدة متساوية لكلا الحسابين، ما هو المبلغ الذي كانت مدخرات جولي الأولية؟

لنقم بحساب المبلغ الأولي لمدخرات جولي. لنفرض أن المبلغ الأولي هو “X” دولارًا.

نصف المبلغ يتم وضعه في حساب الفائدة البسيطة، والنصف الآخر في حساب الفائدة المركبة.

الفائدة البسيطة لمدة عامين تكون: $0.5X \times r \times 2 = 120$، حيث $r$ هو معدل الفائدة السنوي.

ومن ثم، يكون معدل الفائدة $r = \frac{120}{X}$.

الفائدة المركبة لمدة عامين تكون: $0.5X \times (1 + r)^2 – 0.5X = 122$.

الآن، يمكننا استخدام قيمة $r$ التي حسبناها سابقًا لحل المعادلة الثانية:

$0.5X \times \left(1 + \frac{120}{X}\right)^2 – 0.5X = 122$

بعد حل هذه المعادلة، سنحصل على قيمة $X$، والتي تمثل المبلغ الأولي لمدخرات جولي.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتفصيل الخطوات الرياضية واستخدام القوانين المتعلقة بالفوائد البسيطة والفوائد المركبة.

القوانين المستخدمة:

1. فوائد الفائدة البسيطة: $I = P \times r \times t$
2. فوائد الفائدة المركبة: $A = P \times (1 + r)^t$

حيث:

• $I$ هي الفائدة البسيطة.
• $A$ هو المبلغ النهائي بعد مرور فترة الفائدة المركبة.
• $P$ هو المبلغ الأولي (رأس المال).
• $r$ هو معدل الفائدة السنوي.
• $t$ هو الزمن في سنوات.

الخطوات:

1. نفرض المبلغ الأولي لمدخرات جولي بـ $X$ دولار.
2. نستخدم الفوائد البسيطة لحساب الفائدة التي حققتها جولي من حساب البسيطة: $0.5X \times r \times 2 = 120$.
3. نستخدم القانون الثاني لحساب الفائدة المركبة من حساب الفائدة المركبة: $0.5X \times (1 + r)^2 – 0.5X = 122$.
4. نحل المعادلة للعثور على قيمة $X$.

الآن، دعونا نقوم بحل المعادلة الثانية:

$0.5X \times \left(1 + \frac{120}{X}\right)^2 – 0.5X = 122$

تبسيط المعادلة:

$0.5X \times \left(1 + \frac{120}{X}\right)^2 = 0.5X + 122$

نقوم بحساب الأعداد وتبسيط المعادلة بشكل إضافي، ونحلها للعثور على قيمة $X$.

باختصار، هذه الخطوات تستخدم القوانين المتعلقة بالفوائد البسيطة والفوائد المركبة لحساب المبلغ الأولي لمدخرات جولي. الرياضيات تتمثل في حساب الفوائد لكل نوع من أنواع الفوائد ومن ثم حل المعادلة للعثور على المبلغ الأولي.