حل مسألة الفضاء الرياضي: قيمة X وحساب المنتج النقطي (مسألة رياضيات)

إذا كانت قيمة النorm للمتجه $\mathbf{a}$ هي $X$ وللمتجه $\mathbf{b}$ هي $6$، فما هو تعبير المتجه $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} – \mathbf{b})$؟ الإجابة الصحيحة هي $-27$. ما هي قيمة المتغير المجهول $X$؟

لنبدأ بإعادة صياغة المعطيات الرياضية:
إذا كانت قيمة نوعين من المتجهات معروفة، حيث أن $|\mathbf{a}| = X$ و $|\mathbf{b}| = 6$، يُطلب منا حساب المتجه التالية: $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} – \mathbf{b})$. الجواب المتوقع هو $-27$. ما هي قيمة المتغير المجهول $X$؟

لنقم بحل المسألة:
للبداية، دعونا نقوم بحساب المتجهات المطلوبة:
\begin{align*}
\mathbf{a} + \mathbf{b} &= \begin{bmatrix} a_1 + b_1 \ a_2 + b_2 \ a_3 + b_3 \end{bmatrix} \
\mathbf{a} – \mathbf{b} &= \begin{bmatrix} a_1 – b_1 \ a_2 – b_2 \ a_3 – b_3 \end{bmatrix}
\end{align*}

الآن، قم بحساب حاصل ضرب النقطة بين هاتين المتجهات:
\begin{align*}
(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} – \mathbf{b}) &= \begin{bmatrix} a_1 + b_1 \ a_2 + b_2 \ a_3 + b_3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_1 – b_1 \ a_2 – b_2 \ a_3 – b_3 \end{bmatrix} \
&= (a_1 + b_1)(a_1 – b_1) + (a_2 + b_2)(a_2 – b_2) + (a_3 + b_3)(a_3 – b_3) \
&= a_1^2 – b_1^2 + a_2^2 – b_2^2 + a_3^2 – b_3^2
\end{align*}

إذاً، نحن بحاجة لتعويض قيم المتجهات $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ بالقيم المعطاة. ولكن قبل ذلك، دعونا نعبر عن $X$ بشكل عام:
$\|\mathbf{a}\| = X \implies \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} = X$

الآن، قم بتعويض قيم $|\mathbf{a}|$ و $|\mathbf{b}|$ في المعادلة:
$\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} = X$
$6 = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}$

تأتي الآن لحساب $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} – \mathbf{b})$ بواسطة تعويض القيم:
\begin{align*}
(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} – \mathbf{b}) &= a_1^2 – b_1^2 + a_2^2 – b_2^2 + a_3^2 – b_3^2 \
&= (X^2 – b_1^2) + (X^2 – b_2^2) + (X^2 – b_3^2) \quad \text{(استخدام المعادلات المعطاة)} \
&= 3X^2 – (b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) \
&= 3X^2 – 6^2 \quad \text{(استخدام القيم المعطاة لنوع المتجه $\mathbf{b}$)} \
&= 3X^2 – 36
\end{align*}

الجواب المتوقع هو $-27$، لذا نقوم بحل المعادلة:
$3X^2 – 36 = -27$

قم بإضافة $36$ إلى الجهتين:
$3X^2 = 9$

ثم قسم على $3$:
$X^2 = 3$

أخيرًا، خذ الجذر التربيعي:
$X = \sqrt{3}$

إذا كانت الإجابة هي $\sqrt{3}$، وهي القيمة المناسبة للمتغير المجهول $X$.

بالطبع، دعونا نستكشف التفاصيل الإضافية لحل المسألة ونعيد النظر في القوانين والتقنيات المستخدمة.

المعطيات الأولى تشير إلى أن $|\mathbf{a}| = X$ و $|\mathbf{b}| = 6$، والهدف هو حساب $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} – \mathbf{b})$، والذي يُعلن عنه كـ $-27$. نريد العثور على القيمة المجهولة $X$.

للبداية، نتذكر أولاً قاعدة الجمع والطرح للمتجهات:
$\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{bmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ a_3 + b_3 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{a} – \mathbf{b} = \begin{bmatrix} a_1 – b_1 \\ a_2 – b_2 \\ a_3 – b_3 \end{bmatrix}$

ثم نستخدم حاصل الضرب النقطي:
$(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} – \mathbf{b}) = a_1^2 – b_1^2 + a_2^2 – b_2^2 + a_3^2 – b_3^2$

الهدف هو العثور على قيمة $X$ بحيث يكون $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} – \mathbf{b}) = -27$، لذا سنقوم بتعويض قيم المتجهات $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ باستخدام المعلومات المعطاة.

فيما يلي الخطوات بالتفصيل:

1. تعبير عن $|\mathbf{a}|$ بشكل عام:
   $\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} = X$

2. تعويض قيم $|\mathbf{a}|$ و $|\mathbf{b}|$ في المعادلة:
   $\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} = X$
   $6 = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}$

3. حساب $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} – \mathbf{b})$:
   $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} – \mathbf{b}) = a_1^2 – b_1^2 + a_2^2 – b_2^2 + a_3^2 – b_3^2$

4. تعويض القيم وحساب الناتج:
   $\text{إذاً، } (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} – \mathbf{b}) = 3X^2 – 36$

5. حل المعادلة للعثور على $X$:
   $3X^2 – 36 = -27$

6. حساب القيمة النهائية لـ $X$:
   $X = \sqrt{3}$

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة الجمع والطرح للمتجهات: $\mathbf{a} + \mathbf{b}$ و $\mathbf{a} – \mathbf{b}$.
2. حاصل الضرب النقطي للمتجهات: $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} – \mathbf{b})$.
3. قانون حساب النورما (الطول) للمتجه: $|\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$.
4. تعويض القيم في المعادلات.
5. حل المعادلات الرياضية للعثور على القيم المجهولة.

باستخدام هذه القوانين، تم تحليل وحل المسألة الرياضية بشكل تفصيلي ودقيق.