حل مسألة الفضاء الثلاثي بالجبر الخطي (مسألة رياضيات)

نعتبر نقطة $P$ على المستقيم:
$\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

ونعتبر نقطة $Q$ على المستقيم:
$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ X \\ -1 \end{pmatrix}$

لحساب المسافة القصوى بين نقطتين على المستقيمين، نركز على الاتجاه العمودي للمستوى الذي يحتوي على المستقيمين. يتوازن الاتجاه العمودي للمستوى مع الفرق بين نقطتي $P$ و $Q$.

لحساب الاتجاه العمودي، نستخدم الاتجاهين للمستقيمين ونجد منتجًا نقطيًا لهما. لمستقيم النقطة $P$:
$\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

ولمستقيم النقطة $Q$:
$\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ X \\ -1 \end{pmatrix}$

نجد المنتج النقطي:
$\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2 = 2(1) + (-2)X + 1(-1) = 2 – 2X – 1 = 1 – 2X$

الآن، نجد الفرق بين نقطتي $P$ و $Q$:
$\mathbf{d} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}$

لحساب المسافة، نستخدم القاعدة التالية:
$\text{المسافة} = \frac{\left| \mathbf{d} \cdot \mathbf{n} \right|}{\left\| \mathbf{n} \right\|}$

حيث $\mathbf{n}$ هو الاتجاه العمودي، الذي يمكننا الحصول عليه من الناتج النقطي لاتجاهي المستقيمين:
$\mathbf{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ X \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2X + 2 \\ -3 \\ X – 2 \end{pmatrix}$

الآن نقوم بحساب الطول:
$\left\| \mathbf{n} \right\| = \sqrt{(2X + 2)^2 + (-3)^2 + (X – 2)^2}$

نقوم بتعويض قيمة المسافة (التي نعلم أنها $\sqrt{5}$) في المعادلة السابقة:
$\sqrt{5} = \frac{\left| \mathbf{d} \cdot \mathbf{n} \right|}{\left\| \mathbf{n} \right\|}$

نقوم بحساب القيمة المطلوبة للمتغير $X$ من هذه المعادلة. نقوم بتربيع الجهة اليمنى واليسرى وحل المعادلة الناتجة. يجب اتخاذ اتجاهين للقيمة المربعة للتأكد من الحصول على القيمة الإيجابية:
$5 = \frac{(3(2X + 2) – 3(-1) + (-2)(X – 2))^2}{(2X + 2)^2 + (-3)^2 + (X – 2)^2}$

نقوم بحساب القيم ونحل المعادلة للحصول على قيمة $X$.

لحساب المسافة القصوى بين النقطتين $P$ و$Q$ على المستقيمين المعطيين، يتم استخدام القانون الأساسي للمسافة بين نقطتين في الفضاء الثلاثي:

$\text{المسافة} = \frac{\left| \mathbf{d} \cdot \mathbf{n} \right|}{\left\| \mathbf{n} \right\|}$

حيث:

• $\mathbf{d}$ هو الفرق بين نقطتي $P$ و$Q$.
• $\mathbf{n}$ هو الاتجاه العمودي للمستوى الذي يحتوي على المستقيمين.

القانون المستخدم لحساب الاتجاه العمودي هو باستخدام منتج الصلب ($\times$) للحصول على الناتج النقطي $\mathbf{n} = \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2$.

بدأنا بحساب الفرق $\mathbf{d}$ بين نقطتي $P$ و$Q$. ثم حسبنا الاتجاه العمودي $\mathbf{n}$ باستخدام منتج الصلب للاتجاهين $\mathbf{v}_1$ و$\mathbf{v}_2$. بعد ذلك، قمنا بحساب طول $\mathbf{n}$ باستخدام القوانين الأساسية للجبر الخطي.

بعد ذلك، نستخدم القانون الأساسي للمسافة بين نقطتين لحساب المسافة بين النقطتين على المستقيمين.

لحساب القيمة المجهولة $X$:

1. استخدمنا القانون المذكور أعلاه بالتعويض في المسافة المعروفة $\sqrt{5}$.
2. قمنا بتربيع الطرفين للتخلص من الجذر.
3. حللنا المعادلة الناتجة للحصول على قيمة $X$.

التفاصيل الإضافية تشمل الاهتمام بالاتجاهات والمتجهات، استخدام الجبر الخطي للتلاعب بالنقاط والاتجاهات، وحساب الاتجاه العمودي باستخدام منتج الصلب.