حل مسألة الفارق في المصفوفات (مسألة رياضيات)

يتعين أن يكون الجذر التربيعي لمقدار الفارق بين القيمتين الموجودتين في المعادلة الآتية مساوياً للصفر، لذا يجب حساب الفارق بين كل من الأعضاء المتقابلة للمصفوفات. للقيام بذلك، نقوم بطرح المصفوفتين ومن ثم نربط المركبتين معا لنحصل على المعادلة التالية:

هذه المعادلة تنتج عنها معادلتين مستقلتين: واحدة للمكونات العمودية (المكون الأول) والأخرى للمكونات الأفقية (المكون الثاني).

للمكون الأول:
$3 + tX = 2 – s$
للمكون الثاني:
$5 – 7t = -2 + sk$

نقوم بترتيب المعادلات وتجميع مصطلحات الـ$t$ والـ$s$ معاً:
$tX – s = -1$
$7t – sk = -7$

نحتاج الآن إلى حل هذا النظام من المعادلات. لاحظ أنه يمكننا حل النظام بطريقة محاولة وخطأ أو باستخدام تقنيات حل المعادلات الخطية. لهذه المسألة، سنستخدم طريقة حل النظام من خلال استخدام قاعدة كرامر للمصفوفات.

لحساب قيمة $k$، نحتاج إلى التركيز على المعادلة الثانية التي تحتوي على $k$. عند تطبيق قاعدة كرامر، يكون الشرط لعدم وجود حل للنظام هو أن يكون محمد التالي معادلة واحدة:

حيث $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$ هو المقطع (المحصلة المتقطعة) للمصفوفة بالقيم $a$ و$d$ مضروبة بقيمة $c$ و$b$ مطرحا منها. بعد حساب المقطع، يمكن تحديد قيمة $k$.

لحل المقطع، نقوم بالعملية التالية:

وبما أن النظام لا يحتوي على حل، فإن $k$ يجب أن يكون مختلفاً عن الصفر، لذا:

من هنا، نجد أن $k = 7$.

الآن، بعد أن حسبنا قيمة $k$، يمكننا استخدام هذه القيمة لحساب قيمة $X$. للقيام بذلك، نعيد النظر إلى المعادلة الأولى ونقوم بوضع قيمة $k$ الجديدة في المعادلة الأصلية. لكن هناك شرطاً يجب ملاحظته، وهو أن المعادلة لا يمكن أن تحتوي على حل، لذا يجب أن تكون قيمة $X$ بحيث لا تتوافق مع حل ممكن.

بالنظر إلى المعادلة الأولى:
$3 + tX = 2 – s$

إذاً، يمكننا القول:
$X = \frac{2 – s – 3}{t}$

وبما أن النظام لا يمكن أن يحتوي على حل، فإن $X$ يجب أن يكون مختلفاً عن القيمة الممكنة. ولكن هذا يترتب على شرط آخر، وهو أن يكون المقام غير مساوي للصفر، لذا:
$t \neq 0$

بهذا الشكل، نستطيع أن نتوصل إلى استنتاج أن قيمة $X$ يجب أن تكون مختلفة عن الصفر لضمان عدم وجود حل للنظام.

بإجماليها، إذا كانت قيمة $k = 7$، فإن القيمة الممكنة لـ $X$ يجب أن تكون غير الص

لحل المسألة واستنتاج قيمة $k$ و$X$، سنستخدم قوانين جبر الخوارزمي وبعض الخطوات الرياضية الأساسية. سنقوم بتحليل المعادلات واستخدام قوانين الجبر الخاصة بالمصفوفات وحل النظام من خلال قاعدة كرامر.

الخطوات الأساسية التي سنتبعها:

1. تحليل المعادلات: نبدأ بفحص المعادلة المعطاة ونفصل المكونات للمقارنة.

2. تكوين نظام المعادلات: نستخرج المعادلات الناتجة من المعادلة المعطاة.

3. حل النظام: نستخدم قوانين الجبر لحل النظام من معادلات الفارق بين المكونات.

4. استنتاج القيم: نستنتج القيم للمتغيرات من النظام المحسوب.

5. التحقق من الإجابة: نتحقق من صحة الإجابة بالرجوع إلى شروط السؤال.

الآن، سنقوم بتفصيل كل خطوة واستخدام القوانين المناسبة:

1. تحليل المعادلات:
   ندرس المعادلة المعطاة ونقسمها إلى مكوناتها. في هذه الحالة، لدينا معادلة تتضمن مصفوفات ومتغيرات.

2. تكوين نظام المعادلات:
   نقوم بفصل المعادلة إلى معادلتين: واحدة للمكونات العمودية والأخرى للمكونات الأفقية.

3. حل النظام:
   نستخدم قاعدة كرامر لحل النظام من المعادلات المشتقة.

4. استنتاج القيم:
   نقوم بتحليل النتائج المستخرجة من النظام للحصول على قيم $k$ و$X$.

5. التحقق من الإجابة:
   نتحقق من صحة الإجابة عن طريق تطبيق القيم المستنتجة في المعادلة الأصلية والتأكد من عدم وجود حل.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، يمكننا حل المسألة واستنتاج القيم المطلوبة بدقة وتأكيد صحة الإجابة.