حل مسألة العوامل العاملية في الرياضيات (مسألة رياضيات)

إذا كانت المعادلة $5! \cdot X! = n!$ صحيحة، فإن قيمة $n$ هي 6. السؤال الثاني يطلب قيمة المتغير المجهول $X$ عندما نعلم أن القيمة النهائية للمعادلة هي 6.

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام المعرفة بأن $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$. نستخدم هذه القيمة لتقسيم الطرف الأيسر من المعادلة. نحصل على:

بتبسيط الطرف الأيسر من المعادلة، يصبح:

الآن نعلم أن $n = 6$، لذلك نستبدل هذه القيمة في المعادلة:

نواصل بالحساب:

بما أننا نبحث عن قيمة $X$، ونعلم أن $X! = 6$، يكون $X$ هو القيمة التي إذا قمنا بحساب عاملها التشغيلي (الضرب في جميع الأعداد الصحيحة الأقل منها) سيكون الناتج هو 6. إذاً:

إذا كانت الإجابة على السؤال الثاني هي 3.

بالطبع، دعونا نقوم بتوسيع الشرح وتوضيح القوانين التي تم استخدامها في حل هذه المسألة.

المسألة تبدأ بالمعادلة: $5! \cdot X! = n!$

أولاً، لنحسب قيمة $5!$. نعلم أن $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

نستخدم هذه القيمة لتقسيم الطرف الأيسر من المعادلة:
$\frac{5! \cdot X!}{5!} = \frac{n!}{5!}$

وهنا قمنا باستخدام قاعدة الإلغاء (التقسيم) حيث يُمكن إلغاء العامل المشترك (في هذه الحالة $5!$) من البسط والمقام.

تتبع الخطوة التالية، حيث نحصل على:
$X! = \frac{n!}{120}$

الآن، بما أننا نعلم أن قيمة $n$ هي 6، نستخدم هذه القيمة في المعادلة:
$X! = \frac{6!}{120}$

هنا نستخدم قاعدة الضرب لحساب قيمة $6!$، التي تكون $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.

نستخدم هذه القيمة في المعادلة:
$X! = \frac{720}{120}$

ثم نقوم بحساب قيمة $X!$ بتقسيم 720 على 120، والناتج يكون 6.

الآن، نعلم أن $X! = 6$، ولنحسب قيمة $X$، نستخدم قاعدة العكس في عملية الضرب (القسمة)، حيث نبحث عن العدد الذي إذا قمنا بحساب عامله التشغيلي سيعطينا 6.

وبما أننا نعلم أن $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$، فإن القيمة المطلوبة لـ $X$ هي 3.

لذا، في هذا السياق، تم استخدام قوانين الضرب والقسمة وقاعدة الإلغاء لحل المسألة.