حل مسألة العوامل الأولية: X! (مسألة رياضيات)

نحن هنا نبحث عن قيمة مجهولة X. نعلم أن عدد العوامل الأقل من 8! التي تتجاوز X! هو 7. لنقم بتحليل المسألة بترتيب.

أولاً، دعونا نحسب قيمة 8!:
$8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$

الآن، لنجد العوامل الفردية لـ 8! ونحدد أي منها يتجاوز X!:
$8! = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7$

نرى أن العوامل الفردية هي 2، 3، 5، و 7. ونرى أيضاً أنه ليس من الضروري محاولة إيجاد عوامل أكبر من X! بل يجب معرفة قيمة X! وما إذا كانت العوامل الفردية لـ 8! ستشمل عوامل X! أم لا.

الآن، نحتاج إلى معرفة العوامل الفردية لـ X!. لكننا لا نعرف قيمة X! بعد. ومع ذلك، يمكننا التعبير عن 8! باستخدام عوامل X!:

$8! = (X!) \times \left(\frac{8!}{X!}\right)$

نحن نعرف أن العدد الذي يتجاوز 1 هو:
$\frac{8!}{X!} > 1$

بما أن هذا العدد أكبر من 1، فإن ذلك يعني أن X! أصغر من 8!. وهذا يعني أن العوامل الفردية لـ 8! تشمل العوامل الفردية لـ X!.

ومن المعروف أن 8! يحتوي على 4 عوامل فردية: 2، 3، 5، و 7. لذلك، يجب أن يكون X! أصغر من أو يساوي 7! ليكون لدينا 4 عوامل فردية.

إذاً، قيمة X! هي 7. وبالتالي، الإجابة على المسألة هي 7.

لحل المسألة، نحتاج إلى فهم العوامل الفردية لكل من 8! و X! وكيفية التأكد مما إذا كانت العوامل الفردية لـ X! تشمل العوامل الفردية لـ 8! أم لا. نحتاج أيضًا إلى فهم العلاقة بين عوامل الأعداد الأولية وكيفية استخدامها لحل المسألة.

القوانين المستخدمة في الحل تشمل:

1. قانون العوامل الأولية: كل عدد طبيعي يمكن تفكيكه إلى عوامل أولية. مثلاً، $8! = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7$، حيث تُمثّل الأعداد الأولية العوامل الفردية للعدد.

2. العلاقة بين الأعداد الأولية: إذا كانت العوامل الفردية لعدد X! تشمل العوامل الفردية لعدد Y!، فإنه من المؤكد أن X! يمكن أن يقبل القسمة على Y! دون بقية.

3. القيم العددية: استخدام القيم العددية لتحديد العلاقات بين الأعداد والمقارنة بينها.

الآن، لحل المسألة:

أولاً، نحسب قيمة 8!:
$8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$

ثم، نستخرج العوامل الفردية لـ 8! التي هي: 2، 3، 5، و 7.

الخطوة التالية هي معرفة إذا كانت العوامل الفردية لـ X! تشمل العوامل الفردية لـ 8! أم لا.

لنفترض أن قيمة X! أقل من 8! ولكن ليست أقل من 7!، وبالتالي X! = 7.

نتجدد الحساب:
$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

عوامل X! هي: 2، 3، 5، و 7. وهذه العوامل تشمل العوامل الفردية لـ 8!.

لذلك، الإجابة هي أن قيمة المتغير المجهول X هي 7.

تم استخدام القوانين المذكورة أعلاه لتحليل العوامل الأولية وتحديد ما إذا كانت قيمة X! تتضمن العوامل الفردية لـ 8!، وهذا ما أدى إلى الإجابة النهائية.