المسألة الرياضية هي: العثور على قيمة $n$ بحيث $2^5 \cdot 3^2 \cdot n = X!$. إذا كانت الإجابة المعلومة لهذا السؤال هي 140، فما هي قيمة المتغير المجهول $X$؟
لحل هذه المسألة، نبدأ بفحص العوامل الأولية للأعداد المشاركة في المعادلة. يمكننا أن نلاحظ أن 2 و 3 هما العوامل الرئيسية في المعادلة، ونريد العثور على كمية من هذه العوامل في $X!$ لتحديد قيمة $n$.
نبدأ بتحليل 2، ونرى أنه يتكرر بشكل كبير في الأعداد الزوجية. لنحسب عدد الأعداد الزوجية في تفاضل التسلسل $X!$، نقوم بالقسمة على 2. نعلم أن القسمة على 2 ستعطينا عدد الأعداد الزوجية في تفاضل التسلسل.
نستمر في القسمة حتى نحصل على قيمة تقريبية لعدد الأعداد الزوجية في تفاضل التسلسل. ثم نقوم بحساب مضاعفات العدد 2 في هذه القيمة.
نفس الطريقة يمكن تكرارها للعدد 3. نقوم بالقسمة على 3 للعثور على عدد الأعداد التي تحتوي على عامل 3 في تفاضل التسلسل.
بمجرد أن نحسب الأعداد التي تحتوي على 2 و 3 في $X!$، يمكننا حساب $n$ عن طريق قسم المعادلة على الناتج.
في هذا السياق، إذا كانت قيمة $n$ تساوي 140، يمكننا الآن حساب قيمة $X$ بتجميع الأعداد التي تحتوي على 2 و 3 في $X!$.
أخيرًا، نحصل على القيمة النهائية للمتغير $X$، والتي تحقق المعادلة $2^5 \cdot 3^2 \cdot n = X!$.
المزيد من المعلومات
لحل المسألة، سنقوم بفحص كل عامل على حدة واستخدام القوانين المتعلقة بالأعداد الأولية وعمليات العد والقسمة.
لنحل المعادلة $2^5 \cdot 3^2 \cdot n = X!$، سنقوم بتحليل العوامل الأولية للأعداد المشاركة في المعادلة، وهي 2 و3. سنستخدم القوانين التالية:
-
قانون الأعداد الأولية:
- يعتبر 2 عاملًا أوليًا، وهو عدد زوجي. يظهر بشكل كبير في تفاضل التسلسل للأعداد الزوجية.
- 3 هو عدد أولي، وله تأثير في حالة وجود أعداد فردية في تفاضل التسلسل.
-
قانون العد:
- يستخدم لحساب عدد الأعداد الزوجية أو الفردية في تفاضل التسلسل.
-
قانون القسمة:
- يستخدم لحساب كميات العوامل الأولية في تفاضل التسلسل.
نقوم بحساب عدد الأعداد الزوجية في $X!$ عن طريق القسمة على 2، مع ملاحظة أننا نستخدم القسمة الصحيحة. ثم نضرب النتيجة في 2 خمس مرات، نظراً لأننا نريد حساب عدد مرات ظهور العامل 2 في تفاضل التسلسل.
نقوم بنفس الخطوات لحساب عدد مرات ظهور العامل 3 في تفاضل التسلسل.
بعد حساب العددين النهائيين لعدد الأعداد الزوجية والفردية، نستخدمهما لحساب قيمة $n$ عن طريق قسم المعادلة على هذين العددين.
إذا كانت القيمة المعطاة لـ $n$ هي 140، يمكننا الآن حساب قيمة $X$ عن طريق جمع العددين النهائيين التي حسبناها سابقًا.
الحل بالتفصيل يعتمد على تفكيك المعادلة إلى جزئين صغيرة باستخدام القوانين المذكورة أعلاه، ثم حساب القيم والجمع للوصول إلى القيمة النهائية للمتغير $X$.