حل مسألة: العنصر الأول في تسلسل هندسي (مسألة رياضيات)

التسلسل الهندسي: $a, b, c, 32, 64$.

نريد إيجاد قيمة العنصر الأول في هذا التسلسل الهندسي.

لنحل المسألة:

التسلسل الهندسي يتبع القاعدة التالية:

$b = ar, \quad c = ar^2, \quad 32 = ar^3, \quad 64 = ar^4$

حيث أن $a$ هو العنصر الأول في التسلسل، و $r$ هو النسبة الثابتة بين كل عنصرين متتاليين.

لحساب قيمة $r$، نقسم أي عنصر في التسلسل على العنصر السابق. مثلاً:

$\frac{b}{a} = r, \quad \frac{c}{b} = r, \quad \frac{32}{c} = r, \quad \frac{64}{32} = r$

بعد حساب قيمة $r$، يمكننا استخدامها لحساب العنصر الأول. لحساب $r$، نقوم بقسم أي عنصر في التسلسل على العنصر السابق.

بعد الحساب، نجد $r = 2$.

الآن، لحساب قيمة العنصر الأول ($a$)، نقوم بتقسيم أي عنصر في التسلسل على $r$ بالأس الذي يمثل موقع العنصر في التسلسل.

بالتالي:

$a = \frac{b}{r}, \quad b = \frac{c}{r}, \quad c = \frac{32}{r^2}, \quad 32 = \frac{64}{r^3}$

نحل العمليات الحسابية:

$a = \frac{b}{2}, \quad b = \frac{c}{2}, \quad c = \frac{32}{4}, \quad 32 = \frac{64}{8}$

وبالتالي:

$a = \frac{b}{2}, \quad b = \frac{c}{2}, \quad c = 8, \quad 32 = 8$

إذاً:

$a = \frac{8}{2} = 4$

قيمة العنصر الأول في التسلسل الهندسي هي 4.

لحل المسألة وإيجاد قيمة العنصر الأول في التسلسل الهندسي $a, b, c, 32, 64$، سنلتزم ببعض القوانين والخطوات الرياضية الأساسية.

القوانين المستخدمة:

1. قانون التسلسل الهندسي: في التسلسل الهندسي، يتم توليد الأعداد بواسطة ضرب عنصر محدد (النسبة الثابتة) في العنصر السابق.
2. حساب النسبة الثابتة: نقسم أي عنصر في التسلسل على العنصر السابق لحساب النسبة الثابتة بين العناصر المتتالية.
3. حساب العنصر الأول: باستخدام النسبة الثابتة، يمكننا حساب العنصر الأول في التسلسل.

الخطوات:

1. قم بحساب النسبة الثابتة ($r$): يتم ذلك عن طريق قسم أي عنصر في التسلسل على العنصر السابق. على سبيل المثال:
   $r = \frac{b}{a} = \frac{c}{b} = \frac{32}{c} = \frac{64}{32}$
2. بعد حساب قيمة $r$، قم بتطبيقها لحساب العنصر الأول ($a$): قم بقسم أي عنصر في التسلسل على $r$ بالأس الذي يمثل موقع العنصر في التسلسل.

الآن دعنا نطبق الخطوات على التسلسل المعطى:

1. حساب النسبة الثابتة ($r$):

   $r = \frac{b}{a} = \frac{c}{b} = \frac{32}{c} = \frac{64}{32}$

   من العناصر المعطاة:
   $r = \frac{b}{a} = \frac{c}{b} = \frac{32}{c} = 2$

2. حساب العنصر الأول ($a$):

   معرفة قيمة العنصر الأول ($a$) تتم عن طريق قسم أي عنصر في التسلسل على $r$ بالأس الذي يمثل موقع العنصر في التسلسل.

   لذا:
   $a = \frac{b}{r}, \quad b = \frac{c}{r}, \quad c = \frac{32}{r^2}, \quad 32 = \frac{64}{r^3}$

   بعد التعويض:
   $a = \frac{b}{2}, \quad b = \frac{c}{2}, \quad c = 8, \quad 32 = 8$

   بالتالي:
   $a = \frac{8}{2} = 4$

قيمة العنصر الأول في التسلسل الهندسي هي 4.