حل مسألة العمل والزمن بالرياضيات

العامل x يستطيع إنجاز عمل معين في 40 يومًا. قام بالعمل لمدة 8 أيام، ثم أكمل العامل y باقي العمل في 20 يومًا. كم يحتاج العامل y لإكمال العمل؟

لنحسب معدل عمل العامل x في اليوم الواحد، يمكننا استخدام العلاقة:

$\text{معدل العمل} = \frac{\text{العمل المنجز}}{\text{عدد الأيام}}$

لذا:

$\text{معدل العمل للعامل x} = \frac{1}{40}$

وبما أنه عمل لمدة 8 أيام، فإن العمل المنجز هو:

$\text{العمل المنجز بواسطة x} = \text{معدل العمل للعامل x} \times \text{عدد الأيام}$

$\text{العمل المنجز بواسطة x} = \frac{1}{40} \times 8$

$\text{العمل المنجز بواسطة x} = \frac{8}{40}$

$\text{العمل المنجز بواسطة x} = \frac{1}{5}$

العمل الذي تبقى للعامل y هو الفرق بين العمل الإجمالي والعمل المنجز بواسطة x:

$\text{العمل المتبقي للعامل y} = 1 – \frac{1}{5}$

$\text{العمل المتبقي للعامل y} = \frac{4}{5}$

الآن، يمكننا حساب معدل عمل العامل y بناءً على العمل المتبقي والوقت الذي يحتاجه لإكماله:

$\text{معدل العمل للعامل y} = \frac{\text{العمل المتبقي}}{\text{عدد الأيام}}$

$\text{معدل العمل للعامل y} = \frac{4}{5} \div 20$

$\text{معدل العمل للعامل y} = \frac{1}{100}$

الآن، يمكننا حساب الوقت الذي يحتاجه العامل y لإكمال العمل:

$\text{الوقت الذي يحتاجه y} = \frac{\text{العمل المتبقي}}{\text{معدل العمل للعامل y}}$

$\text{الوقت الذي يحتاجه y} = \frac{4}{5} \div \frac{1}{100}$

$\text{الوقت الذي يحتاجه y} = \frac{4}{5} \times 100$

$\text{الوقت الذي يحتاجه y} = 80$

إذاً، يحتاج العامل y لـ 80 يومًا لإكمال العمل.

بالطبع، سنقوم الآن بتوضيح تفاصيل أكثر لحل هذه المسألة وذلك باستخدام القوانين الرياضية والعلاقات الحسابية.

1. معدل العمل:
   نستخدم القاعدة التي تربط بين معدل العمل والوقت والعمل المنجز، وهي:
   $\text{معدل العمل} = \frac{\text{العمل المنجز}}{\text{عدد الأيام}}$

   في حالة العامل x:
   $\text{معدل العمل للعامل x} = \frac{1}{40}$

2. حساب العمل المنجز بواسطة العامل x:
   نستخدم العلاقة:
   $\text{العمل المنجز بواسطة x} = \text{معدل العمل للعامل x} \times \text{عدد الأيام}$
   $\text{العمل المنجز بواسطة x} = \frac{1}{40} \times 8 = \frac{1}{5}$

3. حساب العمل المتبقي للعامل y:
   نستخدم العلاقة:
   $\text{العمل المتبقي للعامل y} = 1 – \text{العمل المنجز بواسطة x}$
   $\text{العمل المتبقي للعامل y} = 1 – \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

4. حساب معدل العمل للعامل y:
   نستخدم العلاقة:
   $\text{معدل العمل للعامل y} = \frac{\text{العمل المتبقي}}{\text{عدد الأيام}}$
   $\text{معدل العمل للعامل y} = \frac{4}{5} \div 20 = \frac{1}{100}$

5. حساب الوقت الذي يحتاجه العامل y لإكمال العمل:
   نستخدم العلاقة:
   $\text{الوقت الذي يحتاجه y} = \frac{\text{العمل المتبقي}}{\text{معدل العمل للعامل y}}$
   $\text{الوقت الذي يحتاجه y} = \frac{4}{5} \div \frac{1}{100} = 80$

قوانين استخدمناها:

• قانون علاقة العمل والوقت: $\text{العمل} = \text{معدل العمل} \times \text{عدد الأيام}$
• قانون العلاقة بين العمل المنجز والعمل المتبقي: $\text{العمل المتبقي} = 1 – \text{العمل المنجز}$
• قانون معدل العمل: $\text{معدل العمل} = \frac{\text{العمل}}{\text{عدد الأيام}}$
• قانون حساب الوقت الذي يحتاجه العامل لإكمال العمل: $\text{الوقت} = \frac{\text{العمل}}{\text{معدل العمل}}$

تمثل هذه القوانين الأساسية العلاقات بين العمل، الوقت، ومعدل العمل وتسهم في فهم العلاقات الرياضية بين مختلف المتغيرات في مسائل العمل والزمن.