حل مسألة العمل والزمن: العامل B وحده

العامل A يستغرق 5 ساعات لإكمال العمل بمفرده. العمال B و C معًا يستغرقون 3 ساعات لإكمال نفس العمل، في حين أن العمال A و C معًا يستغرقون 2 ساعات. كم سيستغرق العامل B وحده لإكمال العمل؟

لنمثل سرعة العامل A بـ “أ”، وسرعة العامل B بـ “ب”، وسرعة العامل C بـ “ج”، وكل ذلك بالترتيب.

لدينا المعادلات التالية:

1. $أ = \frac{العمل}{الزمن}$
2. $أ = \frac{1}{5}$ (لأن العامل A يستغرق 5 ساعات لإكمال العمل)

بالنسبة للعمال B و C معًا:
3. $ب + ج = \frac{العمل}{الزمن}$

4. $ب + ج = \frac{1}{3}$ (لأن B و C معًا يستغرقون 3 ساعات)

بالنسبة للعمال A و C معًا:
5. $أ + ج = \frac{العمل}{الزمن}$

6. $أ + ج = \frac{1}{2}$ (لأن A و C معًا يستغرقون 2 ساعات)

الآن لدينا نظامًا من ثلاث معادلات بثلاث مجهولات، ونرغب في حساب قيمة “ب” والتي تمثل سرعة العامل B. للقيام بذلك، يمكننا حل هذا النظام.

من المعادلة (1)، يمكننا حساب قيمة “أ”:
$أ = \frac{1}{5}$

ثم، من المعادلة (6)، نستخدم قيمة “أ” لحساب قيمة “ج”:
$ج = \frac{1}{2} – أ$

الآن، نستخدم قيم “أ” و “ج” في المعادلة (4) لحساب قيمة “ب”:
$ب + \left(\frac{1}{2} – أ\right) = \frac{1}{3}$

وبعد حساب “ب”، يمكننا استخدام قيم “أ” و “ب” لحساب “ج”:
$ج = \frac{1}{2} – أ$

الآن لدينا قيمة “ب”، والتي تعبر عن سرعة العامل B. لحساب الوقت الذي يحتاجه العامل B وحده لإكمال العمل، نستخدم المعادلة التالية:
$الوقت = \frac{العمل}{سرعة}$

$الوقت = \frac{1}{ب}$

سأقوم بتوضيح الحل بمزيد من التفاصيل وذلك باستخدام قوانين العمل والزمن المستخدمة في الرياضيات والفيزياء.

للبداية، لنستعرض القوانين المستخدمة:

1. قانون العمل والزمن:
   يُعبِّر عن العلاقة بين العمل والزمن ويمثل بالمعادلة: $العمل = السرعة \times الزمن$

2. السرعة = العمل / الزمن:
   يُعبِّر عن كيفية حساب السرعة باستخدام المعادلة: $السرعة = \frac{العمل}{الزمن}$

الآن، سنقوم بتحليل المسألة:

1. سرعة العامل A:
   من المعطيات، نعلم أن العامل A يستغرق 5 ساعات لإكمال العمل بمفرده، لذا يكون لدينا:
   $سرعة_A = \frac{العمل}{الزمن_A} = \frac{1}{5}$

2. سرعة العمال B و C معًا:
   العمال B و C معًا يستغرقون 3 ساعات لإكمال نفس العمل، لذا يكون لدينا:
   $سرعة_{B+C} = \frac{العمل}{الزمن_{B+C}} = \frac{1}{3}$

3. سرعة العمال A و C معًا:
   العمال A و C معًا يستغرقون 2 ساعات لإكمال العمل، لذا يكون لدينا:
   $سرعة_{A+C} = \frac{العمل}{الزمن_{A+C}} = \frac{1}{2}$

الآن، سنحسب سرعة العامل C باستخدام سرعة العامل A و C معًا:
$سرعة_C = سرعة_{A+C} – سرعة_A = \frac{1}{2} – \frac{1}{5}$

ثم، سنستخدم سرعة العامل C لحساب سرعة العامل B:
$سرعة_B = سرعة_{B+C} – سرعة_C = \frac{1}{3} – \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{5}\right)$

بعد حساب سرعة العامل B، يمكننا استخدامها لحساب الزمن الذي يستغرقه العامل B وحده لإكمال العمل:
$الزمن_B = \frac{1}{سرعة_B}$

هذا الحل يستند إلى قوانين العمل والزمن واستخدمنا المعادلات لحساب سرعات العمال ومن ثم استخدامها لحساب الزمن الذي يحتاجه العامل B وحده لإكمال العمل.