حل مسألة العمل المشترك: سرعات بروس وآن

إذا كان بروس وآن يمكنهما تنظيف منزلهما في 4 ساعات عند العمل معًا بمعدلاتهما الثابتة الحالية، وإذا تم تضاعف سرعة آن، يمكنهما تنظيف المنزل في 3 ساعات بمعدلاتهما الحالية، فكم تستغرق آن وحدها لتنظيف المنزل؟

لنمثل سرعة بروس بـ $B$ وسرعة آن بـ $A$، ونعلم أن الوقت المستغرق عكسي للسرعة.

لو كانوا يعملون معًا، يمكن كتابة المعادلة التالية:

$\frac{1}{B + A} = 4$

وعندما يتم تضاعف سرعة آن:

$\frac{1}{B + 2A} = 3$

لحل هذه المعادلتين، يمكن استخدام الحسابات. أولاً، يمكننا حل المعادلة الأولى للعثور على $B$ ومن ثم استخدام قيمة $B$ في المعادلة الثانية للعثور على $A$.

ابدأ بحل المعادلة الأولى:

$\frac{1}{B + A} = 4$

أو

$B + A = \frac{1}{4}$

الآن، لدينا المعلومة أنه عندما تتم مضاعفة سرعة آن، يمكننا كتابة المعادلة الثانية:

$\frac{1}{B + 2A} = 3$

أو

$B + 2A = \frac{1}{3}$

الآن يمكننا حل هذه المعادلتين المتزامنتين للعثور على القيم المطلوبة. بعد الحسابات، نجد $B = \frac{1}{5}$ و $A = \frac{1}{20}$.

الآن، نعود إلى السؤال الأصلي حول كم تستغرق آن لتنظيف المنزل وحدها. يمكن كتابة المعادلة التالية:

$\frac{1}{A} = \text{الوقت الذي تستغرقه آن لتنظيف المنزل}$

وعند استخدام قيمة $A$ التي حسبناها، نجد أن الوقت الذي تحتاجه آن لتنظيف المنزل وحدها هو 20 ساعة.

إذاً، يستغرق آن 20 ساعة لتنظيف المنزل وحدها في السرعة الحالية.

في هذه المسألة، سنقوم بحلها باستخدام مفهوم العمل المشترك. سنستخدم قوانين الحساب والعلاقات الرياضية لتحديد سرعات بروس وآن، ومن ثم نستخدم هذه القيم للعثور على وقت العمل الفردي لكل منهما.

لنمثل سرعة بروس بـ $B$ وسرعة آن بـ $A$، حيث تكون السرعة معكوسة للزمن (العلاقة بين السرعة والوقت).

نعلم أن العمل المشترك يمكن حسابه باستخدام العلاقة:

$\text{العمل المشترك} = \text{سرعة العمل المشترك} \times \text{زمن العمل المشترك}$

وفي هذه الحالة، العمل المشترك عندما يعملون معًا لمدة 4 ساعات:

$1 = (B + A) \times 4$

وعندما يتم تضاعف سرعة آن ويعملون معًا لمدة 3 ساعات:

$1 = (B + 2A) \times 3$

الآن، لنقم بحل هذه المعادلتين. نبدأ بحل المعادلة الأولى:

$B + A = \frac{1}{4}$

ثم نحل المعادلة الثانية:

$B + 2A = \frac{1}{3}$

بعد الحسابات، نجد $B = \frac{1}{5}$ و $A = \frac{1}{20}$.

الآن، نعود إلى السؤال الأصلي حول وقت العمل الفردي لكل منهما. يمكننا استخدام العلاقة بين السرعة والزمن:

$\text{الزمن} = \frac{1}{\text{السرعة}}$

لحساب وقت العمل الفردي لآن، نستخدم $A$:

$\text{وقت العمل لآن} = \frac{1}{A} = \frac{1}{\frac{1}{20}} = 20$

إذاً، يستغرق آن 20 ساعة لتنظيف المنزل وحدها في السرعة الحالية.

القوانين المستخدمة هي قوانين العلاقات بين السرعة والزمن وقوانين العمل المشترك في الحل.