حل مسألة العمل المشترك: انضمام العامل ب (مسألة رياضيات)

العمال “أ” و “ب” يستطيعان إنجاز عمل في 5 أيام و 10 أيام على التوالي. بدأ “أ” العمل وانضم إليه “ب” بعد مرور 4 أيام. كم يحتاجون من الأيام لإكمال العمل المتبقي؟

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام معدل العمل لكل عامل لتحديد كمية العمل التي يقوم بها كل واحد في اليوم. لنقم بتعيين معدل العمل للعامل “أ” بوحدة العمل في اليوم، وذلك لأنه يستغرق 5 أيام لإكمال العمل بمفرده. بما أن العامل “ب” يحتاج 10 أيام لإكمال نفس العمل، فإن معدل العمل للعامل “ب” هو نصف وحدة من العمل في اليوم.

إذاً، معدل العمل للعامل “أ” يساوي 1/5 من العمل في اليوم، ومعدل العمل للعامل “ب” يساوي 1/10 من العمل في اليوم.

عندما يعمل العامل “أ” لمدة 4 أيام، يكون قد أنجز 4 * (1/5) = 4/5 من العمل. بعد ذلك ينضم العامل “ب”، وبمعدل العمل المجتمع (1/5 + 1/10)، يستغرق الوقت لإكمال الجزء المتبقي (1 – 4/5) من العمل.

الآن، يمكننا حساب الوقت اللازم لإكمال العمل المتبقي بواسطة تقسيم العمل المتبقي على معدل العمل المجتمع. لنقوم بذلك:

(1 – 4/5) ÷ (1/5 + 1/10)

التحليل:
نبدأ بتوحيد المقامات للكسر الثاني عن طريق ضرب المقام والبسام في 10:
(1 – 4/5) ÷ (2/10 + 1/10)

ثم نجمع المقامات:
(1 – 4/5) ÷ (3/10)

نحسب الفارق:
(1/5) ÷ (3/10)

نقوم بتحويل القسمة إلى ضرب:
(1/5) * (10/3)

نقوم بضرب الأعداد والمقامات على حدة:
(10/15)

نقوم بتبسيط الكسر إلى أدنى صورة:
(2/3)

لذا، يحتاجون إلى حوالي 2/3 يوم لإكمال العمل المتبقي بعد انضمام العامل “ب”.

بالطبع، دعونا نوسع في تفاصيل الحل ونستعرض القوانين المستخدمة.

معلومات السؤال:

• العامل “أ” ينجز العمل في 5 أيام.
• العامل “ب” ينجز نفس العمل في 10 أيام.

القوانين المستخدمة:

1. معدل العمل (Rate of Work): يمكن تعريف معدل العمل على أنه كمية العمل التي يقوم بها العامل في وحدة زمنية. في هذه المسألة، نفترض أن العامل “أ” ينجز العمل بمعدل 1/5 من العمل في اليوم، بينما العامل “ب” ينجزه بمعدل 1/10 في اليوم.

2. معادلة العمل: إذا كانت $W$ هي كمية العمل، و $T$ هو الزمن، فإن معادلة العمل تكون: $W = RT$، حيث $R$ هو معدل العمل.

3. العمل المنجز: إذا كان العامل “أ” يعمل لمدة 4 أيام، فإن العمل المنجز يكون $W_أ = R_أ \times T_أ = (1/5) \times 4$.

4. العمل المتبقي: بعد أن ينضم العامل “ب”، يتبقى لدينا جزء من العمل ليتم الانتهاء منه، وهو $W_متبقي = W – W_أ$.

5. الزمن المطلوب لإكمال العمل المتبقي: يمكننا استخدام معادلة العمل لحساب الزمن اللازم لإكمال العمل المتبقي بمعدل العمل المشترك للعاملين.

الحل:

1. حساب العمل المنجز بواسطة العامل “أ” في الأيام الأربعة الأولى:
   $W_أ = (1/5) \times 4 = 4/5$

2. حساب العمل المتبقي:
   $W_متبقي = W – W_أ = 1 – 4/5 = 1/5$

3. حساب الزمن اللازم لإكمال العمل المتبقي بواسطة العاملين:
   $T_متبقي = \frac{W_متبقي}{R_مشترك} = \frac{1/5}{1/5 + 1/10} = \frac{1/5}{3/10} = \frac{2}{3}$

إذاً، يحتاجون إلى حوالي $2/3$ يوم لإكمال العمل المتبقي بعد انضمام العامل “ب”.

تم استخدام القوانين المذكورة لتحليل العمل والزمن المتبقي، وتحديد العمل المنجز والعمل المتبقي ومن ثم حساب الزمن اللازم لإكمال العمل المتبقي باستخدام معدل العمل المشترك.